Четверг, 2021-02-25, 7:57 AM
Коллекция материаловГлавная

Регистрация

Вход
Приветствую Вас Гость | RSS
Меню сайта
Главная » 2014 » Август » 4 » Скачать Вариационные уравнения типа Шредингера. Разрешимость и приближенные методы. Шепилова, Елена Владимировна бесплатно
10:30 PM
Скачать Вариационные уравнения типа Шредингера. Разрешимость и приближенные методы. Шепилова, Елена Владимировна бесплатно

Вариационные уравнения типа Шредингера. Разрешимость и приближенные методы

Диссертация

Автор: Шепилова, Елена Владимировна

Название: Вариационные уравнения типа Шредингера. Разрешимость и приближенные методы

Справка: Шепилова, Елена Владимировна. Вариационные уравнения типа Шредингера. Разрешимость и приближенные методы : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.02 / Шепилова Елена Владимировна; [Место защиты: Воронеж. гос. ун-т] - Воронеж, 2008 - Количество страниц: 104 с. Воронеж, 2008 104 c. :

Объем: 104 стр.

Информация: Воронеж, 2008


Содержание:

ВВЕДЕНИЕ
§1 О РАЗРЕШИМОСТИ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ШРЕДИНГЕРА
11 Слабая разрешимость уравнения
12 Гладкая разрешимость уравнения
13 Разрешимость уравнения с неоднородностью, гладкой по пространству
§2 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛУДИСКРЕТНЫМ
МЕТОДОМ ГАЛЕРКИНА
21 Проекционные подпространства и связанные с ними проекторы
22 Оценки погрешности и сходимость полудискретного метода для произвольных проекционных подпространств
23 Оценки погрешности и сходимость полудискретного метода с дополнительным предположением на проекционные подпространства
§3 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПРОЕКЦИОННО
РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ С НЕЯВНОЙ СХЕМОЙ
ЭЙЛЕРА ПО ВРЕМЕНИ
31 Сходимость проекционно-разностного метода в норме С([0,Т],#)
32 Сходимость проекционно-разностного метода в норме С( [0, Т\, V)
§4 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПРОЕКЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ СО СХЕМОЙ
КРАНКА-НИКОЛСОН ПО ВРЕМЕНИ
41 Сходимость проекционно-разностного метода для уравнения типа Шредингера с формой, не зависящей от времени, в норме С([0,Т], Н)
42 Сходимость проекционно-разностного метода для уравнения с оператором, зависящим от времени, в норме С([0,Т],У)

Введение:

Данная диссертационная работа посвящена вопросам разрешимости линейной нестационарной начально-краевой задачи типа Шредингера, заданной в вариационной форме, теоретическому обоснованию сходимости и получению оценок скорости сходимости проекционного и проекционно-разностных методов приближенного решения такого уравнения.
Известно, что вариационная трактовка начально-краевых задач является весьма эффективной. При изучении параболических уравнений такой подход представлен, например, в монографиях [1], [2], [3]; при изучении эллиптических уравнений — [4], [5], [6]. При этом главное внимание уделяется вопросам слабой разрешимости соответствующих задач. Обоснование разрешимости данных задач часто проводится с помощью полудискретного проекционного метода, априорных оценок приближенных решений и последующего обоснования слабого предельного перехода. В этой связи, кроме уже отмеченных монографий, обратим внимание на работы [7], [8].
Существенно меньше результатов для уравнений гиперболического типа. Обоснование разрешимости задач и получение оценок погрешности с помощью проекционных методов проводилось для частных случаев гиперболических уравнений второго порядка, одномерных или двумерных по пространственным переменным, с коэффициентами, не зависящими от времени (см., напр., [9], [10], [11] — [17]). При этом делаются ограничения на проекционные подпространства: завышенные условия на гладкость базисных элементов, предположения о достаточно равномерном разбиении области пространственных переменных (для подпространств типа "конечных элементов")(см., напр., [18] — [24]).
Исследований подобного рода для уравнения типа Шредингера фактически проведено не было. Здесь можно отметить работы [25] — [27], в которых, в основном, обсуждались вопросы разрешимости.
Полученные априорные оценки приближенных решений, найденных проекционным методом, могут быть с успехом, как показано и в данной х работе, использованы не только для обоснования разрешимости исходной точной задачи с помощью обоснования соответствующего слабого предельного перехода, но и для доказательства сходимости приближенных решений к точному в сильных нормах. Это позволяет рассматривать проекционный метод в качестве одного из методов приближенного решения задач (в том числе и задачи типа Шредингера).
Отметим, что проекционный метод сводит решение начально-краевой задачи для линейного уравнения типа Шредингера к решению задачи Коши для конечномерной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом смысле проекционный метод является полудискретным приближенным методом.
Теория проекционных методов достаточно хорошо развита в применении к эллиптическим и параболическим уравнениям. Приближенное решение при этом, в определенном смысле, является элементом наилучшей аппроксимации точного решения в соответствующем гильбертовом пространстве. Изложение этой теории можно найти, например, в работах [2], [3], [4], [10], [28], [29], [30] - [32]. Это позволяет при оценке погрешности в полной мере использовать аппроксимационные свойства проекционных подпространств.
Проекционно-разностные приближенные методы, в отличии от методов проекционных, являются методами полной дискретизации. При этом очевидна зависимость сходимости как от аппроксимационных свойств проекционных подпространств, так и от способа аппроксимации производной по времени. Рассмотрение таких вопросов можно найти, например, в работах [3], [7], [28], [33], [34] - [39].
При исследованиях полудискретного метода и проекционно-разно-стных методов возможен подход, при котором приближенная задача рассматривается в пространстве функций, зависящих от временной и пространственных переменных. При этом весьма распространен способ исследования, имеющий место и в настоящей работе, трактующий временную переменную как параметр. Отметим в этой связи работы [10], [31], [32].
Перейдем к основному содержанию данной работы.
Пусть даны два сепарабельных гильбертовых пространства V и Н, причем У С Я и вложение плотно и непрерывно, то есть для любого жбЯ существует последовательность и и для д2аг : V —а также справедлива оценка
•P/,u||v^ для u G V'.
Определим множество
D{A(t)} = {г; 6 V \ A(t)v G #}. (0.12)
Пусть существует сепарабелыюе гильбертово пространство Е такое, что D[A{t)] GEaV для t G [0, Т] и пространство V совпадает с интерполяционным пространством [Е, H]i/2 (см., напр., [1]). Например, для оператора A(t) в задаче (0.7) с первым краевым условием возьмем Е = D[A(t)] =


W;(а, Ь)П W2(ai b), а в задаче (0.10) с третьим краевым условием следует взять Е = W\{a, Ъ) и D[A(t)] — {u G W\(a, b) \ u'{t, а) + au(t, а) = u'(t,b) + ?u(t,b) = 0}.
А также определим гильбертовы пространства
V{t) = {и, V G V I (и, v)v{t) = a(t, u,v)}.
Ортогональный проектор пространства V(t) на Vh обозначается Qh(t).
В данном пункте приведен ряд результатов, используемых в последующем (лемма 2.2 — лемма 2.6), об аппроксимационных свойствах проекционных подпространств и связанных с ними проекторов. Например, в лемме 2.5 и лемме 2.6 обсуждается вопрос существования производной по t G [0,Т] операторов Q'h(t), Q'^(t) и их аппроксимационных свойств.
В пункте 2.2 исследуется получение оценок погрешности и скорость сходимости полудискретного метода Галеркина в случае произвольного выбора проекционных подпространств.
0 0, то есть ||(/ — Qh)v\\v 0 при h 0 для всех v G V. Кроме того, оценка (0.14) позволяет получать и характеристики скорости сходимости погрешности к нулю. Конечно, при этом от подпространств Vh нужна информация об их аппроксимационных свойствах.
Пусть, например, подпространства Vh такие, что
Ш - Qh)u\\v < ch\\u\\E , (0.15) для всех и G Е. Заметим, что условие (0.15) типично для подпространств Vh типа "конечных элементов" (см., напр., [5], [28], [33]).
Если теперь предположить, что слабое решение задачи (0.4) удовлетворяет условиям теоремы 2.1 и u G L2(0,T; Е), то из (0.14), (0.15) следует оценка
Гр ш» |Ki) - Uh(t)\\2H < Л2 ( (|Hi)||! + |Иё)||2к) dt. u{t)-uh(t)VH <


Далее в пункте 2.2 доказана теорема 2.2 при более сильных условиях на гладкость решения и" е Ь2(0, Т; V) и для г^ = ф^0- Тогда оценка погрешности получена в более сильной норме: т


70 \ и (/ - он)и'т2у+ц [/ - (о.1б)


В (0.16) для предельно плотной в V последовательности подпространств 04} при /г —> 0 правая часть оценки стремится к нулю. Если же выполняется (0.15), то из (0.16) получается следствие 2.5, где при соответствующих предположениях на гладкость решения и^) установлена оценка Т ш^ИиЮ-адЮП?- < сЛ'^ (|И*)111 + ||«'(<)||| + ||и"(4)||27)«.
В пункте 2.3 показано, что можно освободиться от повышенного условия на гладкость решения точной задачи, но для этого наложим на проекционные подпространства 14 дополнительные требования, а именно, {Т4} — последовательность конечномерных подпространств из V такая, что ЦР^Цу^у- равномерно по К ограничены, то есть
РЛ||^<с. (0.17)
В приложениях, для подпространств 14 типа "конечных элементов", условие (0.17) равносильно равномерному разбиению области пространственных переменных (см., напр., [29]).
В теореме 2.3 устанавливается базовая оценка погрешности в норме С([0,Т], Я") при условии, что исходные данные задачи обеспечивают лишь слабую разрешимость и подпространства {Т4} удовлетворяют (0.17). Если же решение и.
В пункте 3.2 обсуждается получение оценок погрешности, сходимость и порядок скорости сходимости в норме тах1<д;<лг \\и(Ьк)—и^.\\у, при этом основным требованием на задачу (0.4) является выполнение условий слабой разрешимости из теоремы 0.1.
0.19) и^С^-^ I /д
Далее, в следствиях 3.3 и 3.4, обсуждается эффективность оценки (0.19), то есть порядок скорости сходимости при дополнительном предположении (0.15) на подпространства У/г и сходимость погрешности к нулю при условии согласования шагов по времени и по пространству, а именно, /г2/т —> 0.
Затем в теореме 3.3 показано, что дополнительные условия гладкости на решение и{?) (и" е 1/1(0, Т; V) и = позволяют как освободиться от согласования шагов по времени и по пространству, так и от требования на разбиение отрезка [0, Т]. При этом, если подпространства Цг удовлетворяют условию (0.15), то выписывается оценка погрешности с порядком скорости сходимости как по т, так и по к (следствие 3.6). А именно, если решение задачи (0.4) обладает дополнительной гладкостью: и" е 1/р(0,Т; У)(1 < р < 2) и и' е 1/2(0,Т; Е), то справедлива оценка гт \ 2/Р
•ч1\\1 <С1гз-2^ц кюи^*) +
Известно, что неявная разностная схема Эйлера дает лишь первый порядок аппроксимации. Более высокий порядок можно получить применяя схему Краика-Николсон, которая является разностной схемой второго порядка аппроксимации.
Изучению проекционно-разностного метода приближенного решения задачи (0.3) с модифицированной схемой Кранка-Николсон по времени посвящен четвертый параграф диссертации, состоящий из двух пунктов. Заметим, что преимущества схемы Кранка-Николсон по сравнению, например, с неявной схемой Эйлера проявляются лишь для уравнений с достаточно гладкими данными.
В пункте 4.1 рассматривается задача типа Шредингера с оператором не зависящим от времени в виде и'(Ь),у) + 1а(и(г)^) = (/(*), V), 1/(0) = и0 е V. (0.20)
В пункте 4.2 диссертации для задачи (0.3) (оператор А(?) зависит от времени) рассматривается модифицированная схема Кранка-Николсон в следующем виде: где элемент ? Ук считаем заданным, т\ = — к = 1, N. Задача (0.22) также однозначно разрешима для любых
В данном пункте, в условиях существования слабого решения задачи (0.3), обсуждается получение оценок погрешности и порядок скорости сходимости в норме тахх<^<дг ||и^ь) — и^Цу. При этом предполагается дополнительное требование (0.17) на проекционные подпространства Цг.
Таким образом, если известны аппроксимационные свойства проекционных подпространств, то оценки, полученные во втором, третьем и
0.22) четвертом параграфах, позволяют получать как сходимость в различных нормах приближенных решений к точному, так и получать скорости сходимости. Заметим, что для достаточно гладких решений скорость сходимости является точной по порядку аппроксимации и по временной, и по пространственным переменным. Последнее особенно важно при использовании подпространств типа "конечных элементов".
Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Рассматривается постановка задачи как наиболее приспособленная к теории проекционных и проекционно-разностных методов. Получены новые результаты о разрешимости и гладкости решения задачи. Сформулированы приближенные задачи при применении проекционного метода Галерки-на, а также проекционно-разностных методов со схемой Эйлера и модифицированной схемой Кранка-Николсоп. Установлены оценки погрешностей приближенных решений в соответствующих нормах. Доказана сходимость и прослежена зависимость порядка скорости сходимости погрешностей приближенных решений к нулю от начальных данных задачи. Результаты диссертации имеют как теоретическую, так и практическую направленность. Они могут быть использованы при дальнейшем исследовании конкретных уравнений математической физики.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских зимних математических школах, конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2005), Крымской осенней математической школе-симпозиуме — 2008, ежегодных научных сессиях Воронежского государственного университета, семинаре под руководством профессора А.Г. Баскакова, семинаре под руководством профессора И.Я. Новикова.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [55] —[61].

Скачивание файла!Для скачивания файла вам нужно ввести
E-Mail: 1662
Пароль: 1662
Скачать файл.
Просмотров: 103 | Добавил: Диана33 | Рейтинг: 0.0/0
Форма входа
Поиск
Календарь
«  Август 2014  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031
Архив записей
Друзья сайта
  • Официальный блог
  • Сообщество uCoz
  • FAQ по системе
  • Инструкции для uCoz
  • Copyright MyCorp © 2021 Создать бесплатный сайт с uCoz