Траектории-утки сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Диссертация
Автор: Бобкова, Алевтина Сергеевна
Название: Траектории-утки сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Справка: Бобкова, Алевтина Сергеевна. Траектории-утки сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.02 Москва, 2005 81 c. : 61 05-1/736
Объем: 81 стр.
Информация: Москва, 2005
Содержание:
Глава
I Траектории-утки в многомерных сингулярно возмущенных системах с одной быстрой переменной
1 Постановка задачи
2 Доказательство теоремы •
Глава
II Решения многомерных сингулярно возмущенных систем, не являющиеся утками
1 Вспомогательные утверждения
2 Доказательство основных результатов
Глава
III Некоторые случаи вырождения
1 Возмущение исходной системы
2 Рождение двух траекторий-уток из одной
Глава
IV Случай нескольких быстрых переменных
1 Постановка задачи
2 Доказательство теоремы
Введение:
Естественно называть переменную х быстрой переменной, а переменную у - медленной, так как в каждой точке {х^,у^) фазовой плоскости, в которой выполнено \F{x^,y^)\ > q > О, где q — некоторая константа, не зависящая от е, вектор фазовой скорости будет иметь вид (F(a;*, у*)/?, G{x^, у*)). Таким образом, при малом значении ? вектор фазовой скорости практически параллелен оси х, то есть происходит почти мгновенное перемещение вдоль нее.Итак, система (1) имеет единственное положение равновесия (—о:, /(—а)), которое, очевидно, асимптотически устойчиво при а 1 и неустойчиво при а ? (0,1) для любого фиксированного значения ?• > 0.Кроме того, известно, что данная система имеет устойчивый предельный цикл при а е [а,1 — Ь], где а, 6 > О, а О (см., например [3], [4]). Промежуточные траектории (рис. 2 б)-в)) и есть траектории-утки.Само же название "траектория-утка" появилось благодаря внешнему виду цикла, изображенного на рис. 2 в). Подрисовав "глазик" и "лапки" мы получим нечто, похожее на летящую утку.Но не стоит думать, что траектории-утки — это некоторое специфическое явление, для обнаружения которого требуются неимоверные усилия. Наличие таких траекторий можно заметить в самых простых системах.П р и м е р . Рассмотрим систему ^ „. ^ п (3) Здесь кривая медленных движений — обычная парабола у = — а;^ , одна часть которой (при гс 0) - неустойчива. Направление векторов фазовой скорости на самой кривой медленных движений зависит от значения параметра а.Рассмотрим траекторию {x{t)^y{t)) системы (3), проходящую через точку (хо,г/о), XQ < min(0, а), —XQ —оо соответственно) на поверхность Fi (см. [14]).Теорема 1.1 из первой главы говорит о том, что при Ф(5о) = О, УФ(5о) Ф О, где 5о - значение параметра 5, для которого хо = l{,s^i существует (п — 2)—параметрическое семейство траекторий системы (4) такое, что для каждой траектории из этого семейства ее концы лежат на / и Z"*" соответственно, а ее нулевым приближением при ? —)• О является кривая L.Вторая глава посвящена изучению ситуации, когда основное условие теоремы 1.1 на точку пересечения траектории вырожденной системы с поверхностью I не выполнено и исследуется поведение траекторий системы (4) в этом случае.Рассмотрим кривую 1^ 2, состоящую из участка кривой X, лежащего между точками (а:,?/) и (XQ, (/'(з^ о))? и лежащего на Г^ участка траектории системы х = /(а:,'0(х)), у = ф{х), проходящей через точку {хо,(р{хо)) (см. рис. 9).Из результатов теорем 2.1 - 2.4 следует, что в случае выполнения условия Ф(5о) > О нулевым приближением при ? —> О траектории системы (4), проходящей через точку {х,у), является кривая L2Рассмотрим теперь кривую L3, состоящую из участка кривой L, лежащего между точками {х,у) и {хо,(р{хо)), и луча, выходящего из точки {хо^(р{хо)) и продолжающегося параллельно оси у в направлении увеличения у (см. рис. 10).Суммарным результатом теорем 2.1, 2.2, 2.5, 2.6 является тот факт, что если Ф(5о) < О, то нулевым приближением при е -^ О траектории системы (4), проходящей через точку {х,у), является кривая ЬзТаким образом, главы I и II дают практически полное описание поведения траекторий системы (4) вблизи особенности (поверхности I) за исключением вырожденного случая Ф(5о) = О, УФ(5о) = О, из которого следует, что траектории-утки являются своего рода сепаратрисами, разделяющими два массива траекторий системы (4) с качественно различным поведением.Отметим, что задачи, поставленные в первых двух главах диссертации, можно аналогичным образом рассматривать и в случае зависимости правой части системы (4) от малого параметра е. Но это немного усложнит выкладки и не позволит представить условия существования и несуществования траекторий-уток в таком простом и красивом виде, как для случая независимости правой части системы от е. Случай зависимости правой части системы от е представлен в первом параграфе третьей главы.Стоит подчеркнуть, что основной проблемой при доказательстве теорем первых двух глав было исследование малой окрестности поверхности /, так как изучение поведения траекторий сингулярно возмущенных систем вдали от особенности было проведено еще до обнаружения такого явления как траектории-утки и полностью описано в [14]. Там показано, что вне любой не зависящей от е окрестности особой поверхности можно найти решение задачи Кощи с нулевым приближением - траекторией вырожденной системы, если начальное условие удовлетворяет определенным требованиям. Случай пересечения корней вырожденного уравнения тоже изучался, но в основном для ситуации так называемого нормального переключения (см. [11]), то есть перехода траектории из малой окрестности устойчивой части одной поверхности медленных движений в малую окрестность устойчивой части другой поверхности медленных движений. Так, например, в статье [15] исследовалась ситуация, аналогичная рассмотренной в главах I и II, но изучался только тот случай, когда нулевым приближением траектории является кривая 1/2.Следует отметить, что результаты первых двух глав являются обобщением на случай нескольких медленных переменных работы [16], в которой изучалось скалярное сингулярно возмущенное неавтономное дифференциальное уравнение, что равносильно рассмотрению автономной системы с одной быстрой и одной медленной переменной. Кроме того, для возникновения траектории-утки в такой ситуации необходимо ввести зависимость правой части системы от вспомогательного параметра.Здесь же мы избавляемся от такой необходимости за счет увеличения количества медленных переменных, а в случае п > 2 добиваемся появления целого семейства траекторий-уток с одним нулевым приближением.Заметим, что к решению подобных задач можно подойти и с другой стороны, то есть не выделять траектории вырожденной системы, способные породить траектории-утки, а, воспользовавшись вспомогательным параметром, пытаться построить утку с любым выбранным нами нулевым приближением. Такой подход представлен, например, в работах [17], [18]. Кроме того, если считать вспомогательный параметр функцией медленного переменного, то можно построить целую поверхность, состоящую из траекторий-уток (см. [19], [20]).
