Главная » 2014 » Сентябрь » 25 » Скачать Скорость сходимости некоторых цепных дробей и их приложения. Рагимханова, Гюльнара Сарухановна бесплатно
6:54 AM
Скачать Скорость сходимости некоторых цепных дробей и их приложения. Рагимханова, Гюльнара Сарухановна бесплатно
Скорость сходимости некоторых цепных дробей и их приложения
Диссертация
Автор: Рагимханова, Гюльнара Сарухановна
Название: Скорость сходимости некоторых цепных дробей и их приложения
Справка: Рагимханова, Гюльнара Сарухановна. Скорость сходимости некоторых цепных дробей и их приложения : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.01 Махачкала, 2003 78 c. : 61 04-1/575
Объем: 78 стр.
Информация: Махачкала, 2003
Содержание:
ВВЕДЕНИЕ
Глава
I ФОРМУЛА ОБРЕШКОВА
§1 Вывод формулы
§2 Разложение конкретных функций и оценка остатка
Глава
II СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
§1 Связь цепных дробей с дробями Паде
§2 Формула Тиле
§3 Скорость сходимости цепных дробей специального вида
Глава
III НЕКОТОРЫЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
7 Решение гипергеометрического уравнения методом цепных дробей
§2 Приложение цепных дробей к решению уравнения Риккати
§3 Рациональная интерполяция функции \х\ на монотонных последовательностях узлов сетках узлов
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
§4 Рациональная интерполяция функции \х\ на равномерных
Введение:
Работа посвящена исследованию скорости сходимости некоторых цепных дробей для аналитически заданных функций одной переменной, вопросу выяснения общего вида подходящих дробей и приложениям цепных дробей к решению различных задач, связанных с дифференциальными уравнениями и теорией интерполирования функций. Методы вычисления элементарных функций, а также относящиеся к ним различные формулы играют важную роль в численных методах решения задач, поскольку большой труд составляет вычисление значений элементарных функций и их различных комбинаций. В работе получена оценка скорости сходимости цепных дробей достаточно общего вида, из которой можно получить, в частности, оценки скорости сходимости цепных дробей для важнейших элементарных функций; при этом в качестве источника цепных дробей могут выступать как дифференциальные уравнения, так и формула Тиле с обратными производными или дроби Паде. Даны оценки скорости сходимости многих разных представлений в виде цепных дробей элементарных функций и связанной с ними гипергеометрической функции. Важной и вместе с тем сложной является задача выяснения общего вида подходящей дроби, исходя из данного разложения в цепную дробь. Наиболее общий подход к этому вопросу достигается при помощи формулы Обрешкова, которая в свою очередь является одним из ф обобщений формулы Тейлора. В работе дано новое доказательство формулы Обрешкова, которое можно распространить на функции многих переменных и на случай функций, заданных разложением в ряд Фурье. Получены также оценки остатка формулы Обрешкова для некоторых конкретных функций.с помощью интерполяционных цепных дробей в работе решены две задачи: задача о точной оценке наилу»1шей скорости сходимости интерполяционных рациональных дробей к функции |х| на отрезке [-l;l] среди всех монотонных по модулю последовательностей узлов интерполяции и задача о точной скорости равномерной сходимости рациональных функций, интерполирующих функцию |х| на отрезке [-1; l] в равноотстоящих узлах. Приведем кратко некоторые предварительные сведения о цепных ил дробях и источниках их получения. Выражение называется бесконечной цепной (непрерывной) дробью. Элементы цепной дроби „(л; 1,2,) могут быть числами (вещественными или комплексными), функциями (одной или большего числа переменных). Конечная цепная дробь b+JL. _?2__ ь,+ ь,+ +К о„ Если существует конечный предел (обозначим его через Т) р lim-2- T, О. (2) называется подходящей дробью порядка 1,2,) для цепной дроби (1). то цепная дробь (1) называется сходящейся и Т называется значением А. цепной дроби (1). Если же написанный предел не существует (или существует, но равен бесконечности), то цепная дробь (1) называется Важным существенно расходящейся (несущественно расходящейся). скорость стремления к нулю разности является вопрос: в случае сходимости цепной дроби (1) к числу Т оценить о.•Щ то (при n ni) рациональная дробь Я„(/,г) р (Л 2;, Д) называется дробью Паде поля {п,п\ для функции /(z). V; Знаменатели Q„{z) дробей Паде тесно связаны с ортогональными многочленами. Приведём теперь некоторые известные результаты (см., напр., [3]) о дифференциальных уравнениях как источнике дробей Паде и цепных дробей. 1) Если функция удовлетворяет дифференциальному уравнению где L,M,N- полиномы HL О, то для дроби Паде поля [т,к] для функции /(х) имеем: знаменатель оДл") удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению второго порядка хЬв QI [(L -М)х0 xLO- {m-vk- l)Le]Q[ НО, О с многочленными коэффициентами. Аналогичное утверждение имеет место и для числителя Р,Дх) этой цепной дроби Паде. Поэтому Р„{х:) и (?Дх) можно выразить через гипергеометрическую функцию Гаусса F(a,p,Y;x). В качестве примеров можно взять функции c,(l-x)",(l-x)" log(l-x) и др.. М Бесконечная цепная дробь (1), где а„ =ао +ап а,п оуаО), Ь„ Ро Pi" ,w {pq о) расходится для p>2q 2. Она сходится в трёх случаях: а) если p>2q; о) если p 2q и —2—-— g oo.oj; с) если p 2q p 2q 2 И одновременно —ё(-»,о). 3) Решение уравнения ау -ху у связано с цепной дробью (1), в которой а„=и а, Решение дифференциального уравнения h„=h. аРу \у-(\+а р)х]у (х-х)у приводит к цепным дробям вида (1), где а„ =аа(х) аХх)и а.{х)ц-, n Po(x)+Pi(x)n, причем ао(х),а,(дг),а,(дг),/3„(х),/?,(;г) некоторые многочлены не выше второй степени. Уравнение Риккати (l rix" {р Рх )у уу 5x имеет решение (обращающееся в нуль при х 0), которое разлагается в цепную дробь ([2]) бх \у5 р){71 Р)У +Р 2+р \у5+{п р)(пг]+р)У 2п р (у5 п 3+р Рп-РУ (yS+nhy npri-npy 2п р Следующие четыре вопроса: 1) развитие теории цепных дробей за последние четыре века; к* 2) связь цепных дробей с 9 ортогональными многочленами, рациональными дифференциальными уравнениями, дробями Паде, приближениями; 3) приложение цепных дробей в вычислительной математике, прикладной математике, теории управления, биологии, физике твёрдого тела, статистической механике и т. д.; 4) роль выдающихся математиков последних четырёх веков в развитии теории цепных дробей ti подробно рассмотрены в работах [1]-[6], [9]-[12], [15]-[16]. Изложим краткое содержание
