Главная » 2014 » Август » 4 » Скачать Римановы структуры почти произведения на касательном расслоении гладкого многообразия. Сухова, Ольга Владимировна бесплатно
11:15 PM
Скачать Римановы структуры почти произведения на касательном расслоении гладкого многообразия. Сухова, Ольга Владимировна бесплатно
Римановы структуры почти произведения на касательном расслоении гладкого многообразия
Диссертация
Автор: Сухова, Ольга Владимировна
Название: Римановы структуры почти произведения на касательном расслоении гладкого многообразия
Справка: Сухова, Ольга Владимировна. Римановы структуры почти произведения на касательном расслоении гладкого многообразия : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.04 / Сухова Ольга Владимировна; [Место защиты: ГОУВПО "Казанский государственный университет"] - Казань, 2009 - Количество страниц: 150 с. Казань, 2009 150 c. :
Объем: 150 стр.
Информация: Казань, 2009
Содержание:
Введение
Глава 1 Структуры почти произведения и почти эрмитовы структуры Метрика Тамма
§1 Структуры почти произведения; римаповы структуры почти произведения, почти эрмитовы структуры1G
§2 Классификация СЕ Степанова структур почти произведения на многообразии с линейной связностью
§3 Классы Навейра римановых структур почти произведения и их геометрические характеристики
§4 Почти эрмитовы структуры Грея-Хервсллы
§5 Пространства с метрикой Тамма
Глава 2 Инвариантные характеристики некоторых классов римановых структур почти произведения и почти эрмитовых структур на касательном расслоении гладкого многообразия
§6 Римановы структуры почти произведения и почти эрмитовы структуры на касательном расслоении гладкого многообразия • • ?
§7 Инвариантные характеристики классов СЕ Степанова структур почти произведения па касательном расслоении гладкого многообразия
§8 Условия принадлежности классам Навейра римановых структур почти произведения, заданных на касательном расслоении
§9 Тензорные признаки классов Грся-Хервеллы почти эрмитовых структур на касательном расслоении почти симплектического многообразия
Глава 3 Исследование кривизн касательного расслоения со специальной римановой метрикой структуры почти произведения
§10 Специальная римаиова метрика д на ТМ Связность Леви
Чивита метрики д
§11 Тензор кривизны пространства (ТМ,д)
§12 Тензор Риччи пространства (ТМ,д)
§13 Секционные кривизны касательного расслоения с метрикой д и их свойства
§14 Скалярная кривизна касательного расслоения с метрикой д • ? ?
§15 Промежутки зпакопостоянства скалярной кривизны касательного расслоения с метрикой д
Введение:
Актуальность темы. Систематическое исследование структур почти произведения (7г - структур), в том числе и римановых структур почти произведения, было начато в середине 50-х годов прошлого столетня. К числу первых работ в этом направлении следует видимо отнести работы Легранда [42] - [47]. В работе [46] Леграпд исследовал естественную тг-структуру на главном расслоенном многообразии, горизонтальное распределение которой задавалось ипфипитезпмалыюй связностью. Большое число работ посвящено построению различных связноетей. согласованных с 7г-структурой [43], [44], [29]. В работах Б.Н. Шапукова [17] - [18] изучались естественные тг-структуры и связности па расслоенных пространствах и их автоморфизмы.
Имеется большое число различных классов (римановых) структур почти произведения. Например, в работе [51] Навсйра получил 64 класса римановых структур почти произведения аналогично тому, как это было сделано Греем и Хервелла в [35] для почти эрмитовых структур. В работе [14] С.Е. Степанов выделил восемь основных классов структур почти произведения, заданных на гладком многообразии с линейной связностью без кручения. Указанным классам дана геометрическая характеристика и получены инвариантные признаки принадлежности тому или иному классу.
Изучение специальных римановых метрик па касательном расслоении ТМ гладкого многообразия AI начинается с известных работ Сасакп [56]. [57], в которых вводится и исследуется естественный класс метрик, являющихся эрмитовыми относительно почти комплексной структуры, порожденной связностью Леви-Чивита римановой метрики д базисного многообразия М. Однако, как было замечено некоторыми авторами, [40], [53], класс метрик Сасакп является достаточно узким. Например, метрика Сасакп является келеровой лишь в случае, когда базисное многообразие является локально евклидовым; среди указанных метрик нет метрик ненулевой секционной кривизны.
Более общие метрики главной диагонали типа Сасакп исследовались многими авторами [39], [38], [9]. [11]. В указанных работах предполагалось, что базисное многообразие наделено более общей метрикой, чем (псевдо) риманова, например, финслсровой или лагранжевой (обобщенной финслс-ровой, обобщенной лагранжевой). Изучались также метрики на ТМ, у которых по главной диагонали стоят разные блоки. Такие метрики уже не являются эрмитовыми, а принадлежат классу римановых метрик естественной структуры почти произведения. Примером такой метрики является известная метрика Чигера-Громола [36], [58]. В указанных работах получены некоторые оценки различных кривизн касательного расслоения в зависимости от кривизны базы.
Автоморфизмы касательных расслоений со специальными римановыми метриками исследованы в работах [3], [4], [28].
Следует отметить, что геометрия касательных расслоении как фазовых пространств конфигурационных многообразий широко используется в аполитической механике, например, при исследовании динамических (гамиль-тоновых) систем . [1], [2].
Целью диссертационной работы является изучение римановых структур почти произведения, заданных па касательном расслоении гладкого многообразия, в частности, получение инвариантных характсрпстйк'клао-.-. сов Навейра и С.Е. Степанова, а также исследование кривизн касательного расслоения риманова многообразия, наделенного специальной римановой метрикой структуры почти произведения.
Методы исследования. Основным методом исследования, применяемым в работе, является аппарат тензорного анализа. Большая часть вычислений проводится в бсскоординатной форме с использованием исчисления Кошуля. Исследования носят локальный характер и ведутся в классе достаточно гладких функций.
Научная новизна результатов, полученных в диссертации и выносимых па защиту, заключается в следующем:
1. Исследованы обобщенные лагранжевы пространства с метрикой Тамма, [15], [16], [63],
2. На касательном расслоении римапова многообразия изучен специальный класс рнмановых метрик структуры почти произведения где gij - компоненты риманова метрического тензора базисного многообразия, gij - компоненты метрики Тамма, причем ip > 0, ф > 0. Данный класс содержит как частный случай метрику Сасаки, метрику Чнгера-Громола. Вычислена связность Лсви-Чивита метрики д, получены выражения для тензора кривизны, тензора Риччи, секционных кривизн касательного расслоения, наделенного метрикой, принадлежащей рассматриваемому классу. Установлена зависимость скалярной кривизны касательного расслоения от функций ip, ф и объектов базисного многообразия. В случае, когда базисное многообразие является пространством постоянной секционной кривизны, найдены условия на метрику д и размерность базы, при которых скалярная кривизна касательного расслоения является постоянной величиной. Для некоторых частных случаев римаповых метрик д установлена зависимость промежутков знакопостоянства скалярной кривизны касательного расслоения от размерности и кривизны базы.
3. Установлены условия принадлежности классам Навейра рнмановых структур почти произведения, заданных па касательном расслоении гладкого многообразия с помощью инфинитезимальной связности, и метрики д = gij{x)dxl dxJ + y)Sy7 0 Sy3 a — ыа(х. ii\d,x} d,x3 -4- x. . где = дзп д13 = gJU det\\g,j\\ =/=? 0, det\\g,j\\ -ф О.
4. Получены инвариантные характеристики классов С.Е. Степанова структур почти произведения в случае, когда в качестве исходного многообразия выступает касательное расслоение, структура почти произведения определена ипфииитезпмалыгой связностью, а в качестве линейной связности выбрана связность Лсви-Чивита римановой метрики структуры почти произведения д.
5. Получены тензорные признаки классов Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур, естественным образом возникающих на касательном расслоении почти симплсктичсского многообразия.
Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении структур почти произведения, рпмановых метрик структуры почти произведения, геометрии касательного расслоения, в аналитической механике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались н обсуждались па геометрическом семинаре физико-математического факультета Пензенского гос. пед. университета (2004-2008гг.), на Четвертой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2005г.), на Пятой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2006г.), на Международной конференции "Лаптевские чтения"(Пенза, декабрь 2006г.), на Шестой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2007г.), на XIX международной летней школе - семинаре "Волга-2007"по проблемам теоретической и математической физики (Казань, июнь 2007г.), на геометрическом семинаре им. Г.Ф. Лаптева при МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, октябрь 2008г.), на геометрическом семинаре КГУ (Казань, октябрь 2008г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах [63]-[69].
Краткое содержание диссертации.
Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности темы и краткое содержание работы.
