Главная » 2014 » Сентябрь » 30 » Скачать Порог синхронизации и стохастический резонанс в системах с негиперболическим хаосом. Ануфриева, Мария Вячеславовна бесплатно
2:26 AM
Скачать Порог синхронизации и стохастический резонанс в системах с негиперболическим хаосом. Ануфриева, Мария Вячеславовна бесплатно
Порог синхронизации и стохастический резонанс в системах с негиперболическим хаосом
Диссертация
Автор: Ануфриева, Мария Вячеславовна
Название: Порог синхронизации и стохастический резонанс в системах с негиперболическим хаосом
Справка: Ануфриева, Мария Вячеславовна. Порог синхронизации и стохастический резонанс в системах с негиперболическим хаосом : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.04.03 Саратов, 2006 103 c. : 61 06-1/984
Объем: 103 стр.
Информация: Саратов, 2006
Содержание:
1 Исследование универсальных свойств порога вне1пней син-хронизации хаотических систем
11 Синхронизация хаоса
12 Способы определения порога синхронизации
13 Исследование зависимости амплитудного порога синхрониза-ции от старшего ляпуновского показателя для системы Лоренца
14 Исследование зависимости амплитудного порога синхрониза-ции от старшего ляпуновского показателя для системы Ресслера
15
Выводы
2 "Странный нехаотический аттрактор" в трехмерной автоном-ной дифференциальной системе
21 Странный нехаотический аттрактор
22 Основные свойства "странного нехаотического аттрактора"
23 Некоторые дополнительные характеристики "странного нехао-тического аттрактора"
24
Выводы 51- -
3 Стохастический резонанс в бистабильной системе под воздей-ствием хаотического сигнала
31 Стохастический резонанс
32 Постановка задачи
33 Бистабильный осциллятор под гармоническим воздействием
34 Бистабильный осциллятор нод воздействием хаотического сиг-нала
35 Быводы
Введение:
Математическая теория динамического хаоса в нелинейных системах, базирующаяся на аксиомах и строго доказанных теоремах, имеет дело только сгиперболическими системами [1]- [7]. Гиперболичность подразумевает, что всетраектории в фазовом пространстве динамической системы имеют седловойтип, с хорошо определенными подпространствами устойчивых и неустойчивых направлений в окрестности траектории. Гиперболические системы диссипативного типа, в которых динамика сопровождается сжатием фазовогообъема, демонстрируют странные аттракторы с хаотическими свойствами.Примерами гиперболических аттракторов являются искусственными математические конструкции, такие, как аттрактор Плыкина и соленоид СмейлаВильямса [8].Доказано, что гиперболические странные аттракторы являются грубыми(структурно устойчивыми) [1]- [5]. Грубость означает нечувствительность характера движений и структуры взаимного расположения траекторий в фазовом пространстве по отношению к малым вариациям уравнений, задаюш;ихдинамику системы. При этом старший показатель Ляпунова, отвечаюш;ий застепень хаотичности, а так же чувствительность динамики по отношению квозмуш,ениям начальных условий, зависят от параметров гладким образом- 5 (без провалов в область отрицательных значений, что характерно в случаенегиперболического аттрактора).Однако, математическая теория гиперболического хаоса никогда не былаприменена убедительно к какому-либо физическому объекту, несмотря на то,что ее концепции постоянно используются для интерпретации хаотическогоповедения реальных нелинейных систем.Следует отметить, что широко исследуемые нелинейные системы со сложной динамикой, имеющие в основе конкретный физический процесс, например, хаотические автогенераторы, нелинейные осцилляторы с периодическимвнешним воздействием, модель Ресслера и др., не относятся к классу гиперболических систем [7]- [11]. Как правило, наблюдаемый в них хаос связанс так называемым квазиаттрактором, который наряду с хаотическими траекториями включает также устойчивые орбиты большого периода. (Последние обычно не различимы при численном решении уравнений на компьютереиз-за малости их бассейнов притяжения.) Строгое математическое описаниеквазиаттракторов остается нерешенной проблемой, хотя в физических системах негиперболичность эффективно маскируется в силу присутствия шума. Вмодели Лоренца в определенной области параметров хаотический аттрактор,как доказано, обладает основными свойствами гиперболических аттракторов(с оговорками, касаюш;имися нарушения в некоторых деталях аксиоматических положений гиперболической теории), и динамика характеризуется какквазигиперболическая [12]- [13]. Так же известны квазигиперболические аттракторы Лози [14] и Белыха [15], [15]Известно немного теоретических работ, в которых обсуждаются приме- 6 ры гиперболического хаоса в системах, описываемых дифференциальнымиуравнениями [17]- [19]. Так же в работе [20] представлен пример физическойнеавтономной системы, обладающей странным хаотическим аттрактором, который по мнению автора относится к классу гиперболических аттракторов.Однако, гораздо чаще в реальных физических системах регистрируютсяхаотические аттракторы, которые никак нельзя отнести к классу гиперболических. И, следовательно, к ним невозможно применить все те математические теоремы, которые были строго доказаны только для гиперболическихсистем. Но поскольку таких систем большинство, то вопрос об их свойствахи характеристиках не является праздным, и раз уж строгое математическоеописание не представляется возможным, то остается использовать другие методы исследования - в частности численный эксперимент.Таким образом, представляется необходимым выявить и систематизировать отличительные экспериментальные характеристики негиперболическихаттракторов, которые можно использовать для их исследований при компьютерном моделировании.В рамках данной диссертационной работы рассматривается ряд характеристик негиперболических систем, которые могут быть использованы для ихописания. В частности проверяется наличие универсальной зависимости между порогом синхронизации хаотической системы внешним периодическимсигналом и степенью хаотичности системы, исследуется поведение бистабильного осциллятора, находящегося под воздействием сигнала, представляющего собой хаотический аттрактор спирального типа. А так же проводятся исследования нового режима, обнаруженного в автономной системе, свойства- 7 которого близки с свойствам странного нехаотического аттрактора. Все этиисследования направлены на то, чтобы расширить знания о свойствах негиперболических систем.Актуальность работы определяется важностью проблемы определениясвойств и характеристик систем с негиперболическим хаосом. Из-за невозможности строго математического описания такие системы можно исследовать только с помощью физического или численного эксперимента. В представленной работе, с использованием второго из указанных методов, былиисследованы некоторые закономерности, присущие негиперболическим системам.Так же было показано, что закономерности, выявленные в численном эксперименте для систем с квазигиперболическим аттрактором, не справедливы* . для систем, демонстрирующих негиперболические режимы, хотя иногда такие экстраполяции исследователями производятся.Следует отметить, что, как уже говорилось ранее, строгое математическое описание негиперболических систем не представляется возможным, следовательно приходится обходиться экспериментальными методами. Поэтомулюбые исследования, проводимые в этом направлении имеют большое значение, особенно если принять во внимание тот факт, что реальные физическиесистемы относятся к классу негиперболических.Цель диссертационной работы состоит в исследовании ряда характе•" ристик и свойств негиперболического хаоса, в частности:1. Порог синхронизации внешним периодическим сигналом и его взаимосвязь со степенью хаотичности режима автоколебаний.- 8 2. Возможности реализации режима хаотических автоколебаний в автономных трехмерных системах, близких по свойствам к известным странным нехаотическим аттракторам неавтономных систем.3. Закономерность прохождения хаотического сигнала, отвечающего режиму спирального (фазокогерентного) хаоса, через бистабильную системув режиме стохастического резонанса.Научная новизна работы состоит в следующем:1. Впервые установлено, что степенная зависимость порога синхронизациихаотической системы, находящейся под внешним гармоническим воздействием, от старшего показателя Ляпунова выполняется лишь для системс квазигиперболическим аттрактором, и принципиально нарушается длянегиперболических систем,2. Впервые выявлена возможность генерации автономной потоковой динагмической системой режима, по свойствам очень близкого к странномунехаотическому аттрактору.3. Проведен детальный анализ поведения бистабильной системы, находящейся под воздействием сигнала, соответствующего спиральному хаотическому аттрактору.Научно-практическое значение результатов работы заключается втом, что ее результаты расширяют наше представление о структуре и свойствах хаотической динамики маломерных диссипативных систем, не удовлетворяющих условиям гиперболичности. Так как практически все известные- 9 хаотические системы не являются гиперболическими, результаты настоящейработы могут быть использованы для понимания многих экспериментальныхрезультатов исследования хаоса.Достоверность научных выводов работы подтверждается соответствием некоторых результатов, полученных при выполнении диссертационной работы, с результатами и гипотезами, высказанными в ряде известныхопубликованных работ. При численном моделировании применялись известные и широко используемые алгоритмы и программы, исключающие ошибкипрограммирования. Расчеты проводились с высокой степенью точности, всерезультаты характеризовались устойчивостью к малым изменениям параметров численной схемы и воспроизводимы.Основные нололсения и результаты, выносимые на защиту;1. Для негиперболических хаотических аттракторов не существует универсальной зависимости порога синхронизации хаотической системы, находящейся под внешним периодическим воздействием, от степени ее хаотичности, характеризуемой старшим ляпуновским показателем.2. В автономных трехмерных диссипативных системах, обладающих негиперболическими свойствами, возможна реализация нового типа аттрактора, который по совокупности характеристик близок к странным нехаотическим аттракторам, возникающим при двухчастотном квазипериодическом возбуждении.3. Бистабильный осциллятор, находящийся под воздействием хаотическогосигнала, отвечающего аттрактору спирального типа, демонстрирует яв- 10ление стохастического резонанса. Причем максимум коэффициента усиления системы уменьшается с ростом коэффициента диффузии, определяющего ширину базовой спектральной линии хаотического сигнала.Апробация работы и публикации.Основные материалы диссертации были доложены на научных конференциях:- Отчетная конференция но НОЦ. май 2003.- International Konference "PHYSICS AND CONTROL" (PhysCon 2003)August 20-22, 2003, Saint Petersburg, RUSSIA- V Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков, Петербург, 11-14 декабря 2001.По теме диссертации опубликовано 3 работы (2 статьи в журналах и 1статья в материалах конференции), которые включены в обш,ий список литературы под номерами [92]- [94]Результаты работы использованы при выполнении грантов CRDF (REC006), а также индивидуальных грантов НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» и Федерального Агентства по образованию РФ (Е02-3.2-345) .Личный вклад автора. Основные результаты, на которых базируетсядиссертация, получены лично автором. В совместных работах автором выполнено программирование всех задач и проведены численные эксперименты. Формулировка поставленных задач, а также объяснение и интерпретацияполученных результатов проведены совместно с научным руководителем исоавторами.-11 Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,трех содержательных глав, заключения и списка цитируемой литературы. Вней содержится 76 страниц текста, 27 рисунков, библиография из 94 наименований на 11 страницах. Обш,ий объем диссертации 103 страницы.Во введении обосновывается актуальность работы, определяются целиисследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна полученных результатов и формулируются положения, выносимые на заш;иту.Первая глава посвящена изучению влияния негиперболичности на закономерность в зависимости амплитудного порога синхронизации от такойхарактеристики режима автоколебаний динамической системы, как старшийпоказатель Ляпунова.Синхронизация хаоса рассматривается как смена хаотического режима регулярным при изменении параметров внешней гармонической силы. При этомсинхронизация возникает при конечной амплитуде внешнего воздействия, тоесть имеет место амплитудный порог синхронизации. Проверяется гипотеза об универсальности степенной зависимости, связываюш,ей амплитудныйпорог синхронизации хаотической системы с ее старшим ляпуновским показателем на системе Лоренца в режиме квазигиперболического аттрактора.Исследуется влияние негиперболичности на закономерность, полученную длясистем с гиперболическим хаосом. Для этого рассматривается квазиаттрактор в системе Лоренца и спиральный и винтовой негиперболические аттракторы в системе Ресслера.В разделе 1.1 рассматриваются концепции синхронизации хаоса, а так же- 1 2 приводится вид степенной зависимости величины порога синхронизации отэнтропии Колмогорова, В дальнейшем универсальность именно этого соотношения и будет проверена для различных хаотических режимов.В разделе 1.2 приведены способы определения порога синхронизации хаотической системы. Приведены методики их расчета и дан сравнительныйкачественный анализ полученных результатов.
