Главная » 2014 » Июль » 14 » Скачать Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение. Мишин, Сергей Николаевич бесплатно
11:03 PM
Скачать Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение. Мишин, Сергей Николаевич бесплатно
Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение
Диссертация
Автор: Мишин, Сергей Николаевич
Название: Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение
Справка: Мишин, Сергей Николаевич. Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.01 Орел, 2002 116 c. : 61 03-1/407-1
Объем: 116 стр.
Информация: Орел, 2002
Содержание:
I Порядок и тип оператора и последовательности операторов
11 Порядок и тип оператора и последовательности операторов, операторный порядок и тип вектора: определение, основные свойства и примеры
12 Порядки и типы некоторых операторов, действующих в конкретных функциональных пространствах
13 Порядок и тип сопряженного оператора и обратного оператора II Применения понятий порядьса и типа оператора и последовательности операторов к репгению задач анализа
21 Изучение специального класса векторнозначных функций
22 Изучение операторов с векторнозначной характеристической функцией
23 Регулярные операторы, спектр и резольвента
24 Собственные вектор-функции оператора
25 Изучение операторов, коммутирующих с оператором конечного порядка, обладающим целой собственной векторфункцией
26 Изучение операторов, коммутирующих с оператором конечного порядка, обладающим собственной векторфункцией, аналитической в круге
Введение:
в середине 80-х гг. XX в. В.П. Громов [1, 2], развивая некоторые задачи работ А.Ф. Леонтьева [25, 26] о разложении функций в ряды экспонент, ввел понятия порядка и типа оператора и операторного порядка и типа вектора относительно оператора, действуюгцего в отделимом локально выпуклом пространстве. Вначале эти понятия применялись им при решении задач о разложении векторов локально выпуклого пространства в ряд по собственным элементам линейного оператора.Позже В.П. Громов и его ученики понятия порядка и типа оператора эффективно использовали и при решении многих других задач современного анализа: в задачах о полноте систем значений голоморфных вектор-функций (см. [3, 40, 41]), при изучении характеристик роста целых векторнозначных функций (см. [2]), в задаче о разложении векторов локально выпуклого пространства в обобш,енный ряд Тейлора (см. [5]), при исследовании подпространств локально выпуклого пространства Н, инвариантного относительно оператора А конечного порядка Р{А) > О и типа а{А) < оо (см. [39, 42]), при изучении операторов с векторнозначной характеристической функцией (см. [2]).В работе [2] В.П. Громов модифицировал понятие порядка и типа оператора и распространил его на последовательности линейных непрерывных операторов, дейстБуюш,их в отделимом локально выпуклом пространстве. Там же были указаны применения этих понятий.Интересные и эффективные применения операторных порядков и типов вектора относительно линейного оператора, действующего в локально выпуклом пространстве, В.П. Громов изложил в работе [4]. Эта работа посвящена дифференциально-операторным уравнениям, включающим в себя, как частный случай, дифференциальные уравнения в частных производных, дифференциально-разностные и интегральные уравнения, а также другие функционально-операторные уравнения.Настоящая работа посвящена дальнейшему обобщению, развитию и более глубокому исследованию понятий порядка и типа оператора и последовательности операторов, действующих в произвольных локально выпуклых пространствах, а также новых: приложений этих понятий.В частности, дано более общее понятие порядка оператора, проведено подробное исследование операторов отрицательного и нулевого порядка (в работах В.П. Громова изучались лишь операторы положительного порядка). Операторы, имеющие отрицательный и нулевой порядок, встречаются на практике довольно часто и им отведено в нашей работе определенное место. Все рассматриваемые в работе локально выпуклые пространства предполагаются отделимыми.В работе введены понятия порядка и типа оператора, действующего в локально выпуклом пространстве, на котором определены две, вообще говоря, различные топологии. При этом понятия порядка и типа оператора, введенные В.П. Громовым в нашем общем определении содержатся как один из важных, но частных случаев (когда топологии совпадают). Обобщение порядка и типа оператора позволило решать ряд задач, связанных с изучением операторов, имеющих векторнозначную характеристическую функцию; операторов, коммутирующих с заданным и др.Работа состоит из введения и двух глав. Во введении дан краткий исторический очерк решаемых задач и содержание основных результатов автора.В первой главе подробно изучаются понятия порядка и типа оператора и последовательности операторов, а также понятия операторного порядка и типа вектора; полученные результаты иллюстрируются раз— 5 нообразными примерами.В параграфе 1.1 дано обобщение понятий порядка и типа оператора и последовательности операторов, действующих в локально выпуклых пространствах с разными топологиями. В этом параграфе детально и более глубоко исследуются порядки и типы операторов и отмечаются основные свойства этих понятий. В частности, здесь рассмотрены операторы отрицательного и нулевого порядка (такие операторы в работах В.П. Громова не рассматривались); здесь же доказываются теоремы о связи порядка и типа оператора (последовательности операторов) с операторными порядками и типами векторов локально выпуклого пространства (теоремы 1.6 и 1.7); найдены необходимые и достаточные условия (критерии), в которых порядок и тип оператора можно находить через операторные порядки и типы векторов, которые, как правило, выписляются проще.Если /3(F) < 1, то F может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость.В параграфе 1.2 также изучаются функциональные пространства, в которых оператор дифференцирования имеет порядок как меньше 1 (пространства типа [р,сг]), так и больше 1 (пространства бесконечно дифференцируемых неаналитических функций с ограничением на рост производных). Здесь же находятся порядки и типы операторов интегрирования и умножения в пространствах аналитических функций.Вторая глава посвяш,ена применениям понятий порядка и типа оператора и последовательности операторов к решению ряда задач современного анализа.В параграфе 2.1 данной диссертации формулы (2) обобщаются на случай, когда в (1) {с^} — произвольная последовательность комплексных чисел, на которую накладывается единственное условие: суп];ествование пределов lim —-—— = 7 7^ ±оо, lim rf у jcnl = ^ О ) ? то полученный результат совпадает с результатом В.П. Громова.В работах многих математиков изучались задачи применимости операторов вида n=0 К тем или иным функциональным пространствам. Таким операторам посвящено большое число работ отечественных и иностранных авторов и особенно много работ — операторам с постоянными коэффициентами (см. [25, 48, 50] и др.).В работе Муггли [46] рассмотрены вопросы применимости оператора (4) к важным пространствам аналитических функций ( Я (С), HQ, [1, ст], [р, оо], р ^ 1) и найдены критерии применимости. В случае HQ (пространство всех функций, аналитических в нуле) применимость пооо нимается в том смысле, что ряд ^ CnF^'^\z) сходится в любой точке п=0 круга l^ l < r(-F), а для остальных пространств — в любой конечной точке. Применимость операторов вида (4) в естественных для [1,сг] и [р, оо] весовых топологиях Муггли не рассматривает. Это приводит к тому, что в случае пространств [1,сг] и [р, оо], снабженных топологиями поточечной сходимости, имеются операторы вида (4), которые применимы к этим пространствам, однако не являются непрерывными.Муггли показывает также, что если оператор (4) применим к одному — 9 из рассматриваемых пространств, то он переводит это пространствов себя.Сиккема [48] и Ван-Стин [50] изучали вопросы применимости к пространствам типа [р, (т] операторов вида (3), где Cn{z) —многочлены.
Вопросы применимости операторов вида (3) с переменными коэффициентами, где Cn{z) — аналитические функции изучались Ю.Ф. Коробейником и его учениками. Операторы вида (4) эффективно использовались А.Ф. Леонтьевым при репгении задач о разложении в ряды экспонент (см. [25]).
В.П. Громов [2] рассматрел вопросы применимости операторов общего вида B = Y^ ХпАп (5) п=0 с целой векторнозначной характеристической функцией оо cf(t) = Y^ ХпГ : С -^ Я, п=0 где Н — полная счетно-нормированная алгебра, Хп ? Н — фиксированная последовательность векторов из Я, An \ Н -^ Н — последовательность линейных непрерывных операторов, действующих в Я, имеющая конечный порядок. Им были указаны достаточные условия применимости операторов вида (5) к пространству Н. При этом приоо менимость понимается в том смысле, что ряд Y1 ^пАп{х) сходится по п=0 топологии пространства Н для всех х & Н. Оператор В, удовлетворяющий описанным в работе [2] условиям применимости, является непрерывно действующим из Я в Я. В параграфе 2.2 данной диссертации операторы вида (5) рассматриваются в более общем случае, когда An : HQ -^ Hi — последовательность линейных непрерывных операторов, действующих из локально выпуклого пространства Но в локально выпуклое пространство Ях, имеющая конечный порядок, {хп} С Яд — фиксированная последовательность векторов из локально выпуклого пространства Яг. Предполагается, что определено умножение векторов из Hi на векторы из Яг со значениями в счетно-полном локально выпуклом пространстве Я, удовлетворяющее условию непрерывности. Нами доказаны достаточные условия применимости операторов вида (5) к пространству Яд (теореоо ма 2.2). Применимость понимается в том смысле, что ряд ^ ХпЛп{х) п=0 сходится по топологии пространства Я для всех х ? Щ. Оператор Я, удовлетворяющий описанным в параграфе 2.2 условиям применимости, является непрерывно действующим из HQ в Н. В частности, если Яо = Ях = Яг = Я, то полученный результат совпадает с результатом В.П. Громова.Параграф 2.3 посвящен применениям понятий порядка и типа оператора в спектральной теории линейных непрерывных операторов, действующих в локально выпуклых пространствах. Эта теория в настоящее время активно развивается и связана с понятием регулярного оператора, введенным Я.В. Радыно (см. [36]). В наших терминах регулярность оператора А означает, что его порядок Р{А) либо отрицательный, либо нулевой, но тогда тип а{А) конечный. Спектральная теория линейных непрерывных операторов в локально выпуклых пространствах, как известно, существенно отличается от аналогичной теории в банаховых пространствах. Для линейного непрерывного оператора А, действующего в банаховом пространстве Я, резольвентное множество определяется как совокупность точек Л Е С, таких что оператор [А — ЛJ5)•^ определен на всем пространстве Я и непрерывен. Спектр оператора определяется как дополнение к резольвентному множеству (см. [15, 27]). Известно, что спектр линейного непрерывного оператора Л, действующего в банаховом пространстве замкнут, а резольвентное множество открыто и на нем резольвента оператора Л является аналитической операторнозначной функцией. Это свойство распространяется на все линейные непрерывные операторы, действуюп];ие в произвольном счетно-полном локально выпуклом пространстве, однако на резольвентное множество накладывается дополнительное условие: резольвентным множеством линейного непрерывного оператора Л, действующего в счетно-полном локально выпуклом пространстве Я, называется совокупность точек Л G С, таких что оператор {Л — ХЕ)^ определен на всем Я, является непрерывным и регулярным (см. [36]). В работе Я.В. Радыно [36] было отмечено (без доказательства), что спектр всякого регулярного оператора А, действуюп];его в локально выпуклом пространстве, замкнут, а резольвентное множество открыто. В параграфе 2.3 данной диссертации мы приводим строгое доказательство этого факта в обш,ем случае, не требуя регулярности оператора А (теорема 2.3). Все точки Л, такие что оператор {А — ХЕ)^ определен на всем Н, непрерывен, однако не является регулярным, образуют новый вид спектра, который мы называем регулярным. В точках регулярного спектра резольвента не является аналитической функцией, хотя она в них определена. Поскольку линейный непрерывный оператор, действуюш;ий в банаховых пространствах автоматически является регулярным, то данное выше определение резольвентного множества (для случая банаховых пространств) совпадает с принятым; регулярный спектр при этом пуст.На протяжении XX века математиками интенсивно исследовались линейные операторы, коммутирующие с операторами дифференцирования, интегрирования, а также их обобщениями (см. [8]-[10], [17, 18] и т.д.). Боас [45] показал, что каждый линейный непрерывный оператор В, коммутирующий с дифференцированием в пространстве Я, которое является подпространством пространства Яд функций, ана— 13 — литических в нуле, и содержит все многочлены, представляется в виде 00 00 п—А; п=0 А;=0 ^ '' где Fn — коэффициенты степенного разложения функции F в окрестности нуля. Если при этом в (7) возможна перестановка порядка суммирования, то оператор В записывается в виде оо B{F)[z) = Y.• Нц^, коммутирующего с оператором дифференцирования. Всякий такой оператор представляется в виде интегрального оператора, дифференциального оператора бесконечного порядка и матричного оператора. И.С. Елисеев [8][10] получил ряд результатов о представлении линейных непрерывных операторов, коммутирующих с оператором кратного дифференцирования ^ ^ , действующим в пространствах аналитических функций, Ю.Ф. Коробейником [19] изучались операторы сдвига на числовых семействах, а также коммутирующие с ними операторы.В параграфах 2.5 и 2.6, используя понятия порядка и типа оператора, мы проводим исследование линейных непрерывных операторов, коммутирующих с фиксированным оператором А конечного порядка, действующим в счетно-нолном локально выпуклом пространстве и обладающим аналитической в некотором круге собственной вектор-функцией.Основные результаты диссертации опубликованы в статьях автора [28]-[31] и доложены на научно-исследовательских семинарах по теории операторов Московского государственного университета им.М.В. Ломоносова (руководитель — профессор Костюченко А.Г.), в отделе теории функций Математического института им. В.А. Стеклова РАН (руководитель — член-корр. РАН Бесов О.В.), а также на ежегодных научных конференциях Орловского государственного университета в 2000-2002 гг.Автор выражает признательность профессору В.П. Громову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь при написании данной работы. — 15
