Главная » 2014 » Июнь » 28 » Скачать Электронный транспорт через фрактальные потенциалы на канторовом множестве. Жабин, Дмитрий Николаевич бесплатно
3:17 AM
Скачать Электронный транспорт через фрактальные потенциалы на канторовом множестве. Жабин, Дмитрий Николаевич бесплатно
Электронный транспорт через фрактальные потенциалы на канторовом множестве
Диссертация
Автор: Жабин, Дмитрий Николаевич
Название: Электронный транспорт через фрактальные потенциалы на канторовом множестве
Справка: Жабин, Дмитрий Николаевич. Электронный транспорт через фрактальные потенциалы на канторовом множестве : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.04.02 Томск, 2003 108 c. : 61 04-1/521
Объем: 108 стр.
Информация: Томск, 2003
Содержание:
ГЛАВА 1Туннелирование частицы через потенциальный барьер
11 Матрица переноса в задаче туннелирования частицы через потенциальный барьер
12 Рекуррентные соотношения для параметров туннелирования
13 Туннелирование частиц с точно заданной энергией
14 Параметры туннелирования для прямоугольных потенциальных барьеров и для 6-потенциалов
15 Фазовые времена туннелирования
151 Время прохождения (тунелирования)
152 Время отражения
16 Матрица переноса А^-барьерной структуры из одинаковых барьеров
17 Матрица переноса самоподобного фрактального потенциала, расположенного на триадном канторовом множестве
171 Иерархическая структура самоподобного фрактального потенциала и ее свойства
172 Функциональное уравнение для матрицы переноса самоподобного фрактального потенциала
173 Решение функционального уравнения для параметров туннелирования самоподобного фрактального потенциала
18 Электронный транспорт через самоподобный фрактальный потенциал, расположенный на обобщенном канторовом множестве I
181 Самоподобный фрактальный потенциал на обобщенном канторовом мнол<естве
182 Функциональные уравнения для параметров туннелирования
183 Результаты и выводы
ГЛАВА 2 Физические свойства потенциалов на канторовом множестве
21 Самоподобный фрактальный потенциал на классе функций, допускающих преобразование Фурье
22 Матрица переноса потенциала в форме канторовой лестницы
221 Иерархическая структура канторовой лестницы Рекуррентное соотношение для матрицы переноса
222 Условие симметрии и функциональное уравнение для матрицы переноса
223 Матрица переноса потенциала в форме канторовой лестницы при стремлении фрактальной размерности к единице
224 Решение функционального уравнения для матрицы переноса при малых отклонениях фрактальной размерности от единицы
225 Некоторые результаты и выводы
ГЛАВА 3 Фазовые BpeivieHa прохождения электрона через самоподобный фрактальный потенциал
31 Функциональные уравнения для фазового времени туннелирования
32 Результаты и выводы
Введение:
« В последнее время активно развивается новая дисциплина - теория сложности (см. например, [1 - 6]), которая изучает как динамические процессы, в которых большое количество независимых агентов действуют согласованно (самоорганизация сложных систем), так и объекты или явления, которые, различаясь в деталях, подобны в принципе. Можно сказать, что раздел теории сложности, изучаюш,ий в некотором смысле самоподобные объекты и явления, представляет собой теорию фракталов [3]. «« Действительно, развитие теории фракталов можно связать с пионерскими работами Бенуа Мандельброта [7 - 9], в которых он предположил, что спекулятивные рынки можно описать при помоиди сложных математических объектов, которые позже получили название фрактальных объектов. Еще в начале шестидесятых годов Мандельброт написал серию работ, в которых показывал, что временные ряды, имеющие , место на рынке капитала, подчинены распределению Парето, которое, как известно, обладает скейлинговым свойством. Скейлинг в данном случае понимается в том смысле, что сумма конечного или бесконечного числа случайных величин, распределенных по одному из устойчивых распределений Парето (см [10 - 13]), также представляет собой случайную величину с той же самой функцией распределения, что имеют слагаемые • суммы. Другими словами, для случайных величин, подчиненных одному из (устойчивых) распределений Парето, не выполняется центральная предельная теорема. Как правило, для таких распределений нельзя определить один или оба из первых двух моментов. Более подробную информацию о развитии фрактальной теории рынка можно найти, например, в [14]. Несмотря на то, что развитие фрактальной геометрии можно соотнести с шестидесятыми годами двадцатого века, до сих пор не существует окончательного и точного определения фрактала. Мандельброт (см. [15]) первоначально определил фрактал, как некоторое множество, топологическая размерность которого меньше чем размерность Хаусдорфа-Безиковича.Впоследствии он отказался от такого определения (в 1991 году М.Шишикура доказал любопытный факт: Хаусдорфова размерность границы множества Мандельброта в точности равна двум! [16]) и предложил следующее, которое до сих пор остается рабочим - «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в некотором смысле подобны целому» [17]. Другими словами, фрактал - это в некотором смысле самоподобный объект.Геометрические и алгебраические фракталы, т.е. фракталы, которые являются пределом бесконечной итерационной процедуры или которые являются «фазовым портретом» нелинейной динамической системы, обладают пространственным самоподобием и, следовательно, представляют собой иерархические объекты. Фрактальные временные ряды обладают статистическими характеристиками, самоподобными по шкале времени.Фрактальные временные ряды являются частным случаем стохастических фракталов, которые имеют больше общего с реальными объектами, чем детерминированные (алгебраические и геометрические) фракталы. Однако последние являются уникальным средством для изучения масштабной инвариантности, поскольку их самоподобие имеет наглядную интерпретацию.Несмотря на то, что размерность Хаусдорфа-Безиковича, или, как ее еще называют, фрактальная размерность, не может служить однозначным определением фрактального объекта, поскольку не содержит исчерпывающей информации о внутренней структуре фрактала, тем не менее, она остается фундаментальной характеристикой фрактала.Фрактальная размерность указывает на то, как фрактальный объект или временной ряд заполняет пространство, в которое он вложен (пространство, в котором локализован фрактальный объект, называют пространством вложения; соответственно размерность пространства вложения называют размерностью вложения). Заметим, что топологическая размерность пространства вложения не может быть меньше фрактальной размерности объекта, поскольку пространство вложения содержит в себе фрактальный объект.Фракталы характеризуются сильной корреляцией своих частей между собой [18]. В случае стохастических фракталов каждая точка реализации такого фрактала находится в корреляции с предыдущими исходами. В случае детерминированных фракталов можно говорить о корреляции составных частей, подразумевая при этом вполне определенную связь уровней иерархии фрактала [19].Следует заметить, что фрактальные объекты описываются нерегулярными функциями. Уже в девятнадцатом веке математики сталкивались с математическими моделями, для изучения которых методы математического анализа оказались недостаточными (изучением нерегулярных, но самоподобных структур занимались также такие ученые, как Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Примерами таких объектов могут служить канторово множество (см. Приложение I) (или как ее еще называют, «канторова пыль»), канторова лестница (см. Приложение И), функция Вейштрасса, кривые Кох и Пеано. Все эти объекты являются примерами детерминированных фракталов, ключевыми свойствами которых являются самоподобие и иерархичность.Как уже отмечалось, фрактальная размерность является фундаментальной характеристикой фрактальных объектов, представляя собой количественную оценку самоподобия. Под фрактальной размерностью обычно понимают размерность Хаусдорфа-Безиковича (пример расчета фрактальной размерности для канторова множества дан в Приложении 1), однако прямое вычисление упомянутой размерности не всегда конструктивно, поскольку ее расчет даже для относительно простых фрактальных объектов требует значительных усилий. Поэтому вычисление фрактальной размерности упрощают, заменяя расчет размерности подсчетом объема, площади или длины покрытия фрактального объекта, покрывая фрактал одинаковыми элементарными множествами. Затем строится мера фрактального множества, покрытого конечным числом элементарных множеств, и приближенно рассчитывается фрактальная размерность.Предполагается, что размерность Хаусдорфа-Безиковича, если она существует, единственна, поэтому является пределом приближенно рассчитанной фрактальной размерности при увеличении числа покрытий элементарными множествами и соответствующего уменьшения их размера.Подробнее о расчете фрактальной размерности см., например, [17, 20].Необходимо отметить, что фрактальные структуры достаточно распространены в природе. Используя аппарат теории фракталов можно с высокой точностью описывать многие физические явления и образования реального мира. Фрактальностью обладают распределения звезд [21], облаков [22, 23], поверхности реальных объектов [24, 25]. Фрактальные свойства характерны для материалов, имеющих пористую структуру [26, 27], белковых образований [28]. При определенных условиях стохастические ветвящиеся фрактальные структуры наблюдаются при росте колоний бактерий [29 - 31]. Примерами случайных фракталов также являются дыхательная (легкие) и кровеносная система человека и животных [32].Замечено, что поведение экологических систем также хорошо описывается в терминах фракталов. Так, например, в работе [33] рассматривается динамика пространственно — неоднородных планктонных сообществ, а работа [34] посвящена обсуждению ключевых вопросов самоорганизации неравновесных экосистем.Фрактальная геометрия используется для описания динамических систем хаоса [35 - 39] и турбулентного течения жидкости [40 - 43].Существует мнение о том, что фракталы естественным образом возникают при описании нелинейных (хаотичных) систем (см., например, [3, 14, 44]), поскольку графическое изображение решений нелинейных уравнений создает фрактальные объекты. Однако, на данный момент, не существует точной математической связи между хаотическими и фрактальными объектами (системами) [3].Фрактальными свойствами обладает электрический разряд и пробой диэлектрика [45]. Инвариантность относительно масштабных преобразований присуща фазовым переходам [46]. Фракталы играют существенную роль в теории пластичности [47] и разрушения материалов [48, 49], прохождении вещества через случайно неоднородные среды (см., например, [50]).Безусловно, большое фундаментальное значение имеет теоретическое и экспериментальное изучение прохождения вещества через среды с фрактальными свойствами [51 - 55]. Изучение дифракции излучения различной природы на дифракционных решетках, имеющих фрактальную геометрию, можно проследить на примере работ [56 - 59]. Интересны методы, которые были развиты для исследования малоуглового рассеяния и отражения волн фрактальными объектами [60 - 64] или нахождения спектра уравнения Шредингера в присутствии магнитного поля, образованного самоподобной фрактальной структурой [65]. Для всех перечисленных задач характерно, что сложная пространственная геометрия среды отражается на ее физических свойствах. Например, фрактальность проявляется в нетривиальной степенной зависимости интенсивности излучения от переданного импульса (здесь переданный импульс - это разница волновых векторов излучения до и после взаимодействия с фрактальным объектом).Некоторые дополнительные особенности излучения возникают, если фрактальный объект является фрактальным кластером, т.е. совокупностью простых объектов, связанных между собой некоторым способом, помещенным в однородную среду. Так, например, возможно изменение спектральных линий за счет поступательного и (или) вращательного движения кластеров [66 - 73].Двумерные [74, 75] или трехмерные задачи [76 - 80] позволяют исследовать, например, эффект переизлучения и переотражения излучения в задаче о рассеивании волн различной природы при прохождении через фрактальные структуры. При этом наблюдается рост интенсивности нелинейных эффектов по мере того, как частицы, образующие исследуемую среду, группируются во фрактальные образования [81, 82].Также продолжаются попытки изучения стохастических процессов с нетривиальной фрактальной функцией плотности распределения вероятности. Так, например, в работе [83] представлена модель случайного процесса, в которой разделены вклады от фрактального характера функции плотности распределения вероятности (локально-временной характеристики) и от «долгой» памяти, которая характеризуется (анти-)персистентностью (показателем Херста [84, 85]), в реализацию траектории стохастического процесса.Не обошло стороной применение теории фракталов и физику элементарных частиц. Так, в работе [86, 87] строится фрактальнодеформированная алгебра операторов рождения и уничтожения (алгебра Гейзинберга) фрактонов - частиц или квазичастиц подчиненных фрактальной функции плотности распределения вероятности.Конечно, применение теории фракталов не ограничивается только вышеперечисленными приложениями. Спектр, рассматриваемых в рамках фрактального подхода, задач настолько широк (см. [88]), что подробное изложение всех приложений теории фракталов в рамках одной работы является проблематичным (не стоит также забывать, что фракталы нашли широкое применение в компьютерной графике [89], а также, что компании Microsoft удалось создать эффективные алгоритмы сжатия графической информации, основанные на фрактальных отображениях). Тем не менее, несмотря на явные успехи приложений теории фракталов к описанию физических явлений, ее развитие сталкивается с принципиальными трудностями, которые возникают уже в одномерных задачах. Основная сложность, состоит в отсутствии адекватного математического аппарата для решений дифференциальных и интегральных уравнений с фрактальными коэффициентами или границами. Поэтому широкое распространение получил метод изучения физических свойств предфракталов, т.е. таких объектов, когда фрактал на некотором уровне иерархии аппроксимируется кусочно-непрерывной функцией [51 - 55, 90 - 92]. Действительно, поскольку реальные объекты, в отличие от фрактальных, имеют наименьший структурный элемент, и этим в корне отличаются от «идеальных» фрактальных структур, данный подход на первый взгляд полностью оправдан. Однако при этом теряется такое важное свойство фракталов, как масштабная инвариантность, которая проявляется в эксперименте. С другой стороны, фрактал можно понимать как предел некоторой последовательности пред фракталов, а свойства предельного предфрактала естественно представляют интерес. Поскольку изучение фракталов предоставляет уникальную возможность выяснить связь между масштабной инвариантностью геометрических и физических свойств системы, поиск адекватных подходов, позволяющих исчерпывающим образом проанализировать физические свойства идеальных фракталов, является до сих пор актуальной задачей Последнее время получил распространение метод (см., например, [93]) согласно которому для описания физических процессов во фрактальных средах традиционные уравнения должны быть изменены заменой обычного дифференциала дробным дифференциалом, кратным фрактальной размерности. Основанием для этого послужило то обстоятельство, что известные дифференциальные и интегральные уравнения, используемые в математической физике (уравнение теплопроводности, гидродинамики и акустики, переноса, Шредингера, Липпмана-Швингера (см., например, [94]) и т.д.), получены основываясь на предположении о регулярности пространства (или среды), в котором находится физическая система. Следовательно, при такой постановке задачи, всегда можно выделить наименьший структурный элемент, который является физически однородным, а, поскольку фрактальные объекты описываются нерегулярными функциями, «обычные» уравнения в точках фрактального множества становятся непригодными.Однако такой подход обладает тем недостатком, что фрактальная размерность не определяет однозначно геометрию фракталов, ведь фракталы одного и того же типа, например обобщенные канторовы множества, отличающиеся числом лакун (неканторовых отрезков, см. Приложение I), также могут иметь одну и ту же фрактальную размерность.В работе [95] можно найти математическое определение оператора Лапласа на детерминированных фракталах, точнее на фрактальных множествах (см. также [96, 97]), дифференциальный оператор на фрактальном множестве рассматривается как предел некоторого конечноразностного оператора, заданного на последовательности простых множеств, отображающих структуру исследуемого фрактала. При таком определении дифференциальный оператор на фрактале должен зависеть как от фрактальной размерности, так и от его структуры.Существуют обобщения некоторых дифференциальных уравнений для стохастических динамических систем, характеризующихся фрактальной функцией плотности распределения вероятности. Например, в работе [98] (см. также [99, 100]) в рамках фейнмановского подхода получено «фрактальное» уравнение Шредингера, а в работе [101] получено «фрактальное» уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова, в предположении, что случайные траектории, по которым движутся частицы, описывается устойчивым распределением Леви. Таким образом, в данном случае определение дифференциального оператора существенно зависит от вида функции плотности распределения, характеризующей стохастический фрактальный процесс. Заметим, однако, что, например, вопрос о существовании и единственности решения «фрактального» уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, строго говоря, остается открытым [101].Альтернативный подход, позволяющий точно учитывать геометрию фрактала, но при этом не требующий пересмотра основных уравнений движения, т.е. переопределения дифференциальных операторов, был предложен в работе [102]. В этой работе была рассмотрена одномерная стационарная задача рассеяния нерелятивистской частицы на так называемом самоподобном фрактальном потенциале (СФП) [52, 90] (см. также параграф 2.1 настоящей работы), который отличен от нуля только в точках триадного канторова множества (КМ) [103, 104]. Впоследствии аналогичная задача была решена и в случае обобщенного канторова множества [105] (см. также [106]).Согласно [102] движение квантовой частицы вне точек КМ должно описываться общепринятым уравнением Шредингера (ОУШ), поскольку в этой области потенциал ведет себя вполне регулярно, и, следовательно, анализ бесконечно малых должен оставаться здесь в силе. Действительно, для любой точки в этой области всегда можно найти такую бесконечно малую окрестность, в которой нет точек КМ. Что же касается последних, то в любой 8-окрестности точек КМ всегда существуют точки, не принадлежащие самому КМ, и, следовательно, потенциал меняется здесь нерегулярно. Однако множество таких точек имеет меру нуль, и, следовательно, единственная проблема, которая возникает при описании туннелирования частицы через СФП, - это проблема переноса рещения через канторовы сегменты, где расположены точки КМ. В работе [102] используется формализм матрицы переноса [107], который обеспечивает выполнение основных свойств одномерного уравнения Шредингера - сохранение плотности потока вероятности (очевидно, «число частиц» должно сохраняться и на фрактальном множестве) и непрерывность волновой функции. Тем самым действие ОУШ распространяется в этом подходе на всю исследуемую область задания потенциала, а точный учет геометрии идеального фрактала обеспечивается формализмом матрицы переноса. Для этого проводится анализ симметрии волновой функции и элементов матрицы переноса на основе интегрального уравнения Липпмана - Швингера [90] с учетом симметрии потенциала.Решение задачи об электронном транспорте при этом сводится к решению функционального уравнения для матрицы переноса (МП), которое было получено с учетом самоподобия фрактального потенциала (подробнее о функциональных уравнениях см. [108]). Заметим, что фрактальная размерность канторова множества естественным образом появляется в ходе решения функционального уравнения (см. [102]). Следует отметить, что хотя анализ на основе уравнения Липпмана - Швингера [90] справедлив только для гладких потенциалов или для нерегулярных потенциалов в пределе большого импульса налетающей частицы, для метода [102] важно только как отражается симметрия самоподобия потенциала на волновой функции и элементах матрицы переноса. При этом не делается никаких предположений о характере поведения потенциала.В настоящей работе представлено дальнейшее развитие метода [102] для изучения туннельного перехода нерелятивистской частицы через фрактальные потенциалы, сосредоточенные на канторовом множестве. В соответствии с вышесказанным, целью данной работы является: • поиск явного вида самоподобного фрактального потенциала, сосредоточенного на (обобщенном) канторовом множестве; • численный расчет параметров туннелирования самоподобного фрактального потенциала, сосредоточенного на обобщенном канторовом множестве; • расчет фазовых времен туннельного перехода нерелятивистской частицы через самоподобный фрактальный потенциал, сосредоточенный на триадном канторовом множестве; • решение задачи туннелирования нерелятивистской частицы через фрактальный потенциал в форме канторовой лестницы.Постановка задачи осуществлялась к. ф. - м. н. Чуприковым Н. Л. На защиту выносятся следующие защищаемые положения: 1. Найден вид самоподобного фрактального потенциала, заданного на классе функций, допускающих преобразование Фурье; 2. С учетом симметрии самоподобия фрактального потенциала в форме канторовой лестницы сформулировано функциональное уравнение на матрицу переноса; 3. В пределе, когда фрактальная размерность канторова множества стремится к топологической размерности пространства вложения (.у -^ 1 - О, где S -фрактальная размерность), найдена матрица переноса фрактального потенциала в форме канторовой лестницы. При малых отклонениях фрактальной размерности от единицы, матрица переноса найдена в виде разложения по малым степеням параметра у = 1 - 2/а, где а - масштабный параметр канторова множества (а > 2); 4. Получены выражения для фазовых времен туннелирования электрона в задаче рассеяния на самоподобном фрактальном потенциале.Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается тем, что основные положения и выводы диссертации основаны на фундаментальных положениях теоретической и математической физики, корректностью проведенных расчетов, а также тем, что в ряде частных случаев, всякий раз оговоренных диссертантом, наблюдается качественное совпадение с результатами других авторов.Научная новизна и практическая значимость работы.В работе получены следующие результаты: • на классе функций, допускающих преобразование Фурье, найдено одно из решений функционального уравнения, определяющего самоподобный фрактальный потенциал, заданный на канторовом множестве; • Получено функциональное уравнение для матрицы переноса, описывающей туннелирование электрона через фрактальный потенциал в форме канторовой лестницы; • Получены аналитические выражения для параметров туннелирования электрона через потенциал в форме канторовой лестницы, фрактальная размерность которого близка к единице. • Произведен анализ фазовых времен туннельного перехода электрона через самоподобный фрактальных потенциал.Апробация работы и публикации.Материалы, вошедшие в диссертацию, доложены и обсуждены на следуюш,их научных конференциях: 1. Жабин Д.Н,, Чуприков Н.Л., Туннелирование электрона через одномерный самоподобный фрактальный потенциал. // «Мезомеханика'98». Тезисы конф. г. Томск. 4-6 декабря 1998г., 15.2. Жабин Д.Н., Чуприков Н.Л. Электронный транспорт через одномерную фрактальную структуру. // «Четвертая международная конференция по математическому моделированию» МГТУ «Станкин» г. Москва. 27.061.07 2000. С 44; 3. Чуприков Н.Л., Жабин Д.Н., Коэффициент прохождения и фазовые времена туннелирования через фрактальный потенциал на канторовом множестве. // Материалы III Всероссийского семинара "Моделирование неравновесных систем - 2000", Красноярск, 20-22 октября 2000 г., С 276-277; 4. Чуприков Н.Л., Жабин Д.Н., Матрица переноса фрактального потенциала типа канторова лестница. // Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 16-21 августа 2001 г., 254-258; а также представлены в следующих реферируемых научных изданиях: 1. Chuprikov N.L., Zhabin D.N., Electron tunneling through a self-similar fractal potential in the generalized Cantor set. // J. of Physics A: Math and Gen., 2000, Vol. 33, №23, P. 4309-4316 2. Чуприков Н.Л., Жабин Д.Н. "Фазовые" времена прохождения электрона через самоподобный фрактальный потенциал. // Изв. вузов. - Физика, 2000, Т. 43, № 12, 57-61 3. Чуприков Н.Л., Жабин Д.Н. Электронный транспорт через одномерную фрактальную структуру. // Изв. вузов, - Физика, 2000, Т. 43, № 12,
51-56 4. Чуприков Н.Л., Жабин Д.Н. Матрица переноса фрактального потенциала в форме канторовой лестницы. // Изв. вузов. - Физика, 2003, Т. 46, №9.Основное содержание работы Работа состоит из введения, трех глав и заключения общим объемом 108 страниц, двух приложений и списка цитируемой литературы из 137 наименований. Основное содержание диссертации опубликовано в пяти печатных работах.Введение содержит исторический обзор литературы, излагается текущее состояние науки в области исследований, приведено обоснование целей исследования.
