Справка: Овсянникова, Ольга Александровна. Динамика двухслойных неспаянных пластинок : диссертация кандидата технических наук : 05.23.17 Саратов, 2006 116 c. : 61 06-5/3402
Объем: 116 стр.
Информация: Саратов, 2006
Содержание:
по теме диссертации и основное содержание работы)
Глава
I МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИДВУХСЛОЙНЫХ НЕСПАЯННЫХ ПЛАСТИН
§1 Основные соотношения и допущения
§2 Перемещения и деформации в пластинке
§3 Математические модели динамики теории гибкихфизически нелинейных двухслойных пластинок
31 Уравнения в перемещениях
311 Дифференциальные уравнения физически нелинейнойсистемы с учетом натяжения срединной поверхности
312 Дифференциальные уравнения физически нелинейнойсистемы без учета натяжения срединной поверхностии геометрической нелинейности
313 Дифференциальные уравнения упругихдвухслойных неспаянных пластинок
314 Дифференциальные уравнения двухслойныхнеспаянных пластинок, в условиях обобщенной гипотезыВласова, с учетом нелинейного трения
32 Уравнения в смешанной форме с учетом физической игеометрической нелинейностей
33 Математическая модель двухслойных пластинок, когдаодна из пластинок описана уравнениями в перемещениях,а вторая уравнениями в смещанной форме
§4 Некоторые математические модели трения
41 Линейное трение
42 Нелинейное трение
43 Гистерезисное трение
44 Ударное демпфирование
§5 Классификация механических систем в виде двухслойныхнеспаянных пластинок 57Выводы по главе
Глава
II МЕТОДИКА РАСЧЕТАДВУХСЛОЙНЫХ УПРУГИХ ПЛАСТИН
§1 Метод понижения порядка системы дифференциальныхуравнений теории многослойных неспаянных пластинок
§2 Методика сведения распределенных системв виде двухслойных неспаянных пластин к сосредоточенным
§3 Достоверность полученных результатов 65Выводы по главе
Глава IIL ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ДВУХСЛОЙНЫХНЕСПАЯННЫХ ПЛАСТИН
§1 Основные характеристики для анализа хаотическихколебаний линейных хаотических систем
11 О хаосе
12 Фазовые портреты
13 Отображения Пуанкаре
14 Временной ряд 75\ 15 Бифуркации 77; 16 Сценарии перехода В хаос 77''* §2 Диссипативная динамика двухслойных неспаянных пластин
§3 Консервативная динамика двухслойных неснаянных пластин
§4 Диссипативно-консервативная динамика двухслойныхнеспаянных пластин 100Выводы по главе
Введение:
по теме диссертации и основное содержание работы)Несмотря на известные успехи в развитии нелинейной теорииприменительно к изучению статики, динамики и устойчивости пластин иоболочек, следует отметить некоторое отставание теории контактноговзаимодействия, а значит, отсюда следует и актуальность данной проблемы.В настоящее время, актуальность проблемы расчета контактных задачтеории пластин на прямоугольном плане существенно возросла, в связи с^ интенсивном внедрением композитных материалов, в частностиармированных и слоистых, позволяющих учитывать реальную работусложных конструкций в условиях высоких температур, агрессивных средах,коррозионного износа.Задачи о контактном взаимодействии между тонкими пластинамисложны, поскольку при их решении приходиться одновременно определятьНДС и зоны контакта двух и более пластин, в общем случае различнойформы.Контакт круглых пластин, установленных с зазором при нагруженииодной из них изучен Ю.П. Артюхиным [1], с использованием теорииКирхгофа. На границе зоны контакта обнаружены сосредоточенные сила имомент. Использование теории типа Тимошенко позволило получитьI конечное значение контактного давления на границе [2] (решениеосесимметричной задачи).*^ Задача о контакте между двумя прямоугольными пластинами решенавариационно-разностным методом [3], методом вариационных итераций [4].Данные решения выполнены в геометрически и физически линейнойпостановке.Дискретный подход для пластин со слоями Тимошенко реализован в[5], с помощью предложенного авторами матричного метода, приводящегозадачу к системе интегральных уравнений, относительно контактного5давления, в неизвестных априорных зонах. Здесь учтена возможностьпоявления разрывов областей сопряжения слоев.Серию задач контакта пластинок и оболочек с учетом физическойнелинейности рассмотрел Б.Я. Кантор [6] методом Ритца в высшихприближениях для осесимметричного случая.Практика строительства, как в нашей стране, так и за рубежомвыдвигает требования разработки и применения облегченных конструкций,особенно при возведении сооружений в труднодоступных районах.I Тонкостенные элементы конструкций в форме многослойных неспаянныхпластинок в течение нескольких десятилетий являются объектоммногочисленных и разнообразных исследований. Интерес к проблемамдеформирования, прочности, колебаний, статической и динамическойустойчивости многослойных неспаянных пластинок в первую очередь тем,что они представляют собой основные несущие элементы конструкций,применяемых в строительной механике, авиационной и ракетной технике,создании приборов новой техники, в медицине и др. отраслях народногохозяйства.Актуальность разработки проблем деформирования и прочностимногослойных неспаянных пластинок при динамических сжимающихвоздействиях в последние годы резко возросла. Объясняется это в первуюочередь непрерывно расщиряющимся внедрением пластинок в несущие\ элементы конструкций, работающих в интенсивных динамических режимах.Необходимо иметь в виду, что запросы практики требуют обеспечения"? высокой надежности ответственных конструкций, отдельные элементыкоторых изготовлены из многослойных неспаянных пластинок и панелей.Проводимые же с этой целью натурные динамические испытания становятсявсе более сложными и дорогостоящими. Эффективно разрешить этупроблему можно лишь на базе комплексных теоретико-экспериментальныхисследований, основная задача которых должна заключаться в выяснении6физической сущности процессов, протекающих в конструкционныхэлементах в предполагаемых условиях эксплуатации.Что касается теоретико-расчетной части общей задачи, то перваяосновная проблема при рассмотрении сложных конструкций заключается всоздании эффективных математических моделей исследуемых систем,которые не только обеспечивают выполнение заданных требований кинформативности и точности исследований, но и одновременно являютсяэкономичными, способствуя, в частности, минимизации затрат машинногоi времени и памяти ЭВМ, Математические модели рассматриваемых явленийи расчетные методики в идеале должны быть точными, надежными и в тожевремя универсальными. Однако удовлетворить всем этим требованиям взадачах динамики пластин и оболочек практически никогда не удается.Объясняется это непростым физическим содержанием динамическихпроцессов в тонкостенных конструкциях.При расчете многослойных неспаянных пластинок на динамическиесжимающие нагрузки важно иметь в виду также следующее обстоятельство.Для реальных пластинок, обладающих (пусть даже очень малыми)начальными несовершенствами, во многих случаях оказываетсяневозможным рассмотрение в чистом виде классических задачдеформирования, динамической устойчивости и прочности. Сравнительномедленное нарастание деформаций (безмоментных либо моментпыхI осесимметричных в зоне краевого эффекта) на начальной стадиинагружения, последующий резкий переход конструкции к интенсивномуwJ неосесимметричному выпучиванию, образование и развитие в материалелокальных зон неупругих деформаций или локальных поврежденийпредставляют собой взаимовлияющие стороны единого процесса. Можноговорить лишь о том какая из них в тон или иной расчетной ситуации (приконкретном виде нагрузки, диапазоне скоростей нагружения, поленачальных несовершенств, соотношении геометрических параметров7оболочки характеристика, жесткости и прочности материала) будетдоминирующей.В исследованиях по строительной механике и теории упругостипроблема уменьшения числа степеней свободы рассматриваемых систем илипонижения мерности задач является одной из важнейших, так как еерешение в каждом конкретном случае связано с возможностью полученияаналитического решения или же значительного снижения вычислительныхзатрат., Если по первому направлению (уменьшения числа степеней свободы)Л.- количество публикаций является необозримым, т.к. к ним относятся работыпо различным вариационным методам, методам дискретизации (МКЭ, методсеток, МГЭ и т.д.), то по второму направлению (понижение мерности задач)исследований выполнено сравнительно мало. Если исключить из их числаработы, посвященные системам с циклической симметрией, где расчленениеразрешающей системы уравнений на сумму уравнений с меньшей на порядокмерностью не вызывает особых затруднений, то работ, непосредственноотносящихся к проблеме понижения мерности задач строительной механикии теории упругости, окажется очень мало. К этим работам следует, преждевсего, отнести работы Л.А. Розина [7, 8] и Г.И. Пшеничного [9, 10],посвященные методам расчленения дифференциальных операторовуравнений математической физики. С самого начала идея этих методовI* оказалась связанной с вопросами построения стержневых схем для задачтеории пластин и оболочек.4,' В связи с этим в начале 60-ых годов возникла идея анализадифференциальных операторов уравнений математической физики путем ихрасчленения на сумму одномерных операторов и операторов связи,интерпретации их как обыкновенных дифференциальных уравнений дляодномерных элементов по каждому из направлений системы уравненийсвязи между этими одномерными элементами [И, 8].8Этот подход дает возможность трактовать исходную систему какнепрерывную (сплошную) стержневую, полностью ей эквивалентную и отнее перейти к дискретной стержневой системе, приближенноаппроксимирующей исходную континуальную, т.е. перейти от системы сбесконечным числом одномерных элементов по каждому из направлений ксистеме с конечным их числом.Динамический хаос, хаотические колебания, стохастичность - понятия,появившиеся в научно-технической литературе относительно недавно, быстро завоевали свое «место под солнцем». Оказалось, что подобныепроцессы свойственны многим нелинейным динамическим системам и ихматематическим моделям в различных областях естествознания, а также втеории управления, экономике и т.д.Проблема детерминированности и случайности, предопределенности инепредсказуемости, зародившись много веков назад, продолжает оставатьсяодной из фундаментальных острых проблем естествознания. Идеи,заложенные в основу статической физики, связали случайность инепредсказуемость с невозможностью полного описания сложных систем,состоящих из многих элементов типа, например, газа или плазмы, и привелик вероятностному описанию многоэлементных систем.Вместе с тем предполагалось, что в силу детерминированностиисходных уравнений поведение простых систем типа одной или несколькихhi: частиц, типа одного или нескольких осцилляторов, одного или несколькихавтогенераторов полностью предсказуемо на любом заданном интервале•*/ времени и в их поведении в силу этого отсутствуют черты, характерные дляслучайных процессов.Первые мелкие трещины в этой четкой картине разделениядетерминированного и случайного начала возникать в начале XX века. Так,появление квантовой механики положило конец воззрению о возможностиопределения начальных условий и траекторий физических систем с любойнаперед заданной точностью и тем самым ограничило применимость9детерминированного описания микроскопических простых систем. Крометого, были построены примеры, показывающие возможность появлениянеопределенности в поведении простых детерминированных систем из-заограниченной точности задания начальных условий. С другой сторонывыяснилось, что в сложных системах с большим числом степеней свободы,например, гидродинамических, могут наблюдаться из-за кооперативныхэффектов элементы детерминированности в поведении.Широкомасштабные и планомерные исследования взаимосвязи хаоса ипорядка ведутся относительно недавно. Они показали, что поведение^ сложных систем со многими степенями свободы при определенныхусловиях, а именно, нелинейной неравновесной области, где перестаютработать законы классической равновесной термодинамики, может бытьсвойственна регулярность, хорошая организованность [12]. При этомвозникают регулярные пространственные и временные структуры,названные И. Пригожиным [13 - 16] диссипативными.Наряду с этим возможна и обратная картина: из упорядоченногодвижения рождается хаос. Такой хаос принципиально отличается от хаоса,создаваемого в детерминированной системе нод воздействием внешнихфлуктуации - флуктуационного хаоса. Он возникает при соответствующихусловиях даже в простых системах, например, автогенераторах, в результатесложного собственного поведения системы, порождаемого неустойчивостьюJ фазовых траекторий. При этом динамика системы нерегулярна сама по себе,без воздействия каких либо внешних или внутренних флуктуации.щ Остановимся кратко на решающих результатах, приведших к концепциидинамического хаоса.Одним из первых, поставил вопрос о возможности возникновения хаосав динамике был Чириков Б.В. [17]. Он показал для случая гамильтоновойсистемы, что колебания нелинейного осциллятора, находящегося подвнешним многочастотным воздействием, и системы нелинейныхосцилляторов, необязательно должны быть периодическими или10квазипериодическими, а могут быть более сложными и обладать сплошнымспектром.Пример диссипативной системы со стохастическим поведением былисследован в работе Лоренца Э. [18], который обнаружилдетерминированные движения, отличные от периодических иквазипериодических в модели, представляющей собой трехмодовуюаппроксимацию задачи двумерной тепловой конвекции.Разработка математических концепций возможности появлениясложных непериодических движений в динамических системах восходит кисследованию А. Пуанкаре [19, 20], где было введено понятиегомоклинических траекторий. Важными этапами на пути к осознаниювозможности появления сложных непериодических движений явилосьсоздание качественной теории динамических систем на плоскости [19],разработка метода точечных отображений для анализа динамических систем[20], исследование характера движений многомерных систем в окрестностисложных положений равновесия [21].Паконец, в 1971 году Рюэлем и Такенсоном вводится понятие«странный аттрактор» [22]. Следует отметить, что этот революционный шагбыл подготовлен значительными достижениями не только качественнойтеории динамических систем [23 - 26], но и таких смежных областейматематики, как эргодическая теория [27 - 30], символическая динамика [18,26], теория бифуркаций [31,32] и теория катастроф [26, 33, 34].Электроника и радиофизика являются одними из наиболее благодатныхобластей, как с точки зрения широты распространения явлений сложнойдинамики, так и с точки зрения возможностей их исследования.Динамический хаос может быть реализован, как в маломерных системахс размерностью фазового пространства не менее трех, так и в более сложныхсистемах, вплоть до распределенных. Если динамика систем с размерностьюфазового пространства равной трем, на сегодняшний день в значительной11степени изучена, то закономерности поведения систем повышеннойразмерности по-прежнему во многом остаются загадочными.Особый раздел теории колебаний представляет собой исследованиенелинейных колебаний, имеющих важные специфические свойства. Такогорода движения могут возникать в пластинах и оболочках при большихперемещениях, когда деформации и перемещения связаны нелинейнымисоотношениями. С другой стороны, деформации могут лежать за пределамиприменимости закона Гука, и нелинейность зависеть от усилий.Одними из первых публикаций в этом направлении являются книгиА.С. Вольмира [35], Б.Я. Кантора [36], В.А. Крысько [37], в которых авторыинтересуются именно нелинейными колебаниями пластин и оболочек. Этаобласть представляет одну из частей общей нелинейной механики твердыхдеформируемых тел, или, в более широких рамках, нелинейной механикисплошных сред. Одним из важных практических приложений в этомнаправлении является вопрос о поведении пластин и оболочек приимпульсных воздействиях. Этому вопросу в вышеперечисленных источникахуделяется большое внимание. В то же время при рассмотрениипериодических колебаний может идти речь о некотором установившемсядвижении системы. В задачах о динамическом нагружении наибольшеевнимание привлекают неустановившиеся переходные процессы. Такойпроцесс заключается обычно в скачкообразном переходе - перескокесистемы от установившегося движения одного типа к некоторому другомудвижению.Но чрезвычайно важным является вопрос о нелинейной динамикепластин и оболочек с учетом диссипации энергии под воздействиемзнакопеременных нагрузок и изучение сценариев перехода таких систем всостояние хаоса. Данное направление интенсивно развивается в научнойшколе, возглавляемой профессором В.А. Крысько. В этом направленииисследованы прямоугольные в плане пластинки и оболочки при действии12продольных и поперечных знакопеременных нагрузок с учетом диссипацииэнергии [38, 39].Нелинейная динамика пластин и оболочек интенсивно началаразвиваться со второй половины прошлого века. Изучение колебанийоболочек было начато еще Рэлеем в его знаменитой книге «Теория звука». Впоследующее время труды в этой области опубликовали такие выдающиесяученые как Н.А. Алумяэ [40], В.В. Болотин [41], Э.И. Григолюк [42] идругими авторами. В имеющейся литературе речь идет, как правило, о малыхколебаниях упругих пластин и оболочек, когда соотнощение междудеформациями и перемещением с одной стороны и деформациями иусилиями с другой, могут быть приняты линейными.Запросы в первую очередь авиационной и космической техникиопределили настоятельную потребность в изучении динамических процессовв пластинчатых конструкциях. Среди вопросов динамики, подвергщихсяинтенсивному рассмотрению, важное место заняла проблема свободных ивынужденных колебаний, соверщаемых пластинкой. Этим задачампосвящены монографии А.С. Вольмира [43], В.А. Крысько [37], В.А. Пальмова [44], Э.И. Григолюка и В.В. Кабанова [45], А.Л. Гольденвейзера,В.Б. Лидского и П.Е. Товстика [46], В.Л. Агамирова [47].Методы математического моделирования динамических процессов,применяемые в теории пластин, разрабатывались и в работах, посвященныхколебаниям других строительных конструкций, по большей части балочных.Из работ последних лет можно выделить следующие. Т.Д. Каримбаев и Ш. Мамаев [48] исследовали сопротивление ударным нагрузкам упругопластического тела в форме параллелепипеда с прямоугольным поперечнымсечением. Разработанный ранее алгоритм решения динамических задач здесьобобщен на случай задач с движущимися граничными условиями.Проанализирован возможный характер разрущения балки при перемещенияхобласти воздействия динамической нагрузки. Догаки, Пек и Ионезава [49]провели численное исследование показателей динамической неустойчивости13и выпучивания тонких прямоугольных упругопластических пластин сначальными деформациями под действием комбинации статической ипериодической сдвигающих сил при учете геометрической нелинейностиперемещений и физической нелинейности применяемого материала.Особый раздел теории колебаний пластинок представляетисследование их нелинейных колебаний. При этом наибольший интерес прирассмотрении зависимости прогиба от нагрузки вызывает неустановившийся,I переходный процесс движения оболочки от ее регулярных колебаний кполной потере устойчивости. Такой процесс обычно заключает в себескачкообразные переходы (бифуркации) от установившегося движенияодного типа к некоторому другому движению при достиженииопределенного критического значения нагрузки.Хаотические движения строительных конструкций историческирассматривались как непредсказуемые эффекты, вызванные случайнымивнешними факторами и не связанные со свойствами самой конструкции.Исследования по нелинейной динамике колебательных систем^в другихобластях показали, что хаотические явления представляют собой один изхарактерных типов поведения нелинейных систем и что пониманиемеханизма возникновения этих явлений дает возможность предвидетьдальнейшее развитие и предельное состояние движения.Следует отметить ту важную роль, которую играют в этихисследованиях современная вычислительная техника и методыматематического моделирования динамических процессов.f В последние два десятилетия появился ряд публикаций, в которыхавторы выясняли условия возникновения хаотических реакций встроительных конструкциях под влиянием тех или иных внешнихвоздействий. Целью этих работ было также установление типичныхсценариев перехода от регулярных движений к хаотическим.Общей трактовке указанных вопросов посвящена, например,монография Т. Капитаника [50], ориентированная на инженеров - практиков.14Обзор результатов проведенных в 1980-е годы исследований свойствпереходных процессов в колебаниях нелинейных систем опубликовал Т. Капитаник в [51]. Построены отображения Пуанкаре и типы фазовыхтраекторий с различными вариантами неустойчивости. Хаотические эффектысопоставляются с различными характеристиками нелинейности системы. Вего же работе [52] проведен анализ условий перехода к хаотическому. ^ поведению в автономной самовозбуждающейся системе под действиемI периодического и случайного внешнего возмущения. Определены фазовыетраектории с одной и двумя петлями и условия перехода к хаотическим^' фазовым траекториям. Хан, Жанг и Янг [53] рассматривали хаотическиевынужденные колебания динамической системы второго порядка сквадратичной и кубической нелинейностями. Определялись условиявозникновения хаоса по отображениям Пуанкаре, фазовым портретам ивременным рядам.В.А. Баженов, Е.С. Дехтерюк и Ю.С. Петрина численно исследовалибифуркации установивщихся режимов вынужденных колебаний пластин иоболочек под действием периодических во времени нагрузок. Отмеченпереход от регулярных (периодических и квазипериодических) колебаний кхаотическим.Я. Аврейцевич, В.А. Крысько и А.В. Крысько [54] изучали общиемеханизмы перехода к хаосу в диссипативных пластинчатых конструкциях.Анализируя сложные колебания гибких пластинок при воздействиипеременных во времени сдвиговых нагрузок, В.А. Крысько, В.В. Бочкарев,Т.А. Бочкарева [55] установили, что при любых заданных значениях частотыи коэффициента демпфирования существует значение амплитуды нагрузкитакое, что при больших значениях амплитуды колебания становятсяхаотическими. В.А. Крысько, Т.В. Вахлаева и А.В. Крысько [56] детальноописали механизмы возникновения хаоса в случае вынужденных колебанийпластин. Переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума в динамике пластинпроанализирован в работе Я. Аврейцевича и В.А. Крысько [57]. Хаотические15эффекты в диссипативно-консервативных колебаниях двухслойныхнеспаянных пластин исследовали В.А. Крысько, А.В. Крысько и Т.В. Бабенкова [58]. Рассматривал модель голосовых связок человека в виде двухпластин, прикрепленных пружинами к стенкам трубы П.С. Ланда [59] иустановил, что под действием потока воздуха происходит возбуждениехаотических колебаний пластин.В работе [60] Ю. Лепик пытался выяснить возможность хаотическихреакций в осесимметричных колебаниях упруго - пластическихцилиндрических оболочек. В большинстве проведенных компьютерныхэкспериментов установившиеся колебания имели регулярный характер. Хан,Ху и Янг [61] провели анализ нелинейных колебаний упругойцилиндрической оболочки вращения и нашли критические условиявозникновения хаотического движения. Маэстрелло, Френди и Браун [62]изучали нелинейные колебания типовой панели фюзеляжа самолета. Для'выбранного диапазона частот найдены линейные, квазилинейные приудвоении периода колебаний и хаотические динамические реакции панелипри увеличении уровня акустического движения звуковой нагрузки.Сценарий перехода к хаотическим колебаниям для консервативных идиссипативных систем в теории гибких цилиндрических панелей придействии знакопеременных продольных нагрузок рассматривали А.В. Крысько, А. Мицкевич и Ю.В. Чеботаревский [63]. Хаотические движенияквадратной в плане оболочки под действием импульсной периодическойпагрузки исследовали В.А. Крысько и А.В. Кириченко [64]. Сделана попыткаобъяснить явление динамической потери устойчивости с позицийкачественной теории дифференциальных уравнений.В последние два десятилетия появился ряд публикаций, в которыхавторы выяснили условия возникновения хаоса в различных конструкциях.Значительная роль в таких исследованиях, целью которых являетсявыявление сценариев перехода от регулярных колебаний к хаотическим,отводится методам математического моделирования и современным16вычислительным методам. Но задачам исследования стохастическихколебаний многослойных неспаянных систем в виде пластин, уделялосьограниченное внимание. Настоящая работа ставит перед собой цель частичнозаполнить этот пробел.Целью работы является построение математических моделей теориимногослойных неспаянных пластинок с учетом разного типа нелинейностей(конструктивной, связанную с тем, что расчетная схема задачи, в процесседеформирования, меняется; конструктивной и физической нелинейностями;конструктивной, геометрической и физической нелинейностями; а также,нелинейной зависимости диссипативных членов в сочетании сконструктивной, геометрической и физической нелинейностями). Длядостижения этой цели необходимо решить следующие задачи:1. Создание математических моделей теории многослойных неспаянныхпластинок с учетом разного типа нелинейностей (конструктивной,связанную с тем, что расчетная схема задачи, в процесседеформирования, меняется; конструктивной и физическойнелинейностями; конструктивной, геометрической и физическойнелинейностями; а также, нелинейной зависимости диссипативныхчленов в сочетании с конструктивной, геометрической и физическойнелинейностями).2. Построение итерационной процедуры для динамических задач, когдана каждом шаге по времени уточняется зона контактного сопряженияпластин и тем самым уточняется величина и характер контактногодавления.3. Разработка методики расчета двухслойных неспаянных пластинок придействии продольных и поперечных знакопеременных нагрузок,позволяющей исследовать диссипативные, консервативные,диссипативно-консервативные системы.4. Качественное исследование динамики многослойных неспаянныхпластинок, на основе нелинейной динамики в зависимости от17изменения следующими параметрами: краевыми условиями, величинойзазора между пластинками, амплитудой и частотой равномернораспределенной поперечной и продольной знакопеременных нагрузок,величиной диссипативных членов.Уравнения в частных производных сведены к системе обыкновенныхдифференциальных уравнений с помощью метода конечных разностейвторого порядка, которая решалась методом Рунге - Кутта четвертогопорядка точности. Это связано с задачей установить истинность хаоса, вотличие от модели Лоренца, когда низшие приближения обнаруживают хаос,а увеличение аппроксимации приводит к его исчезновению.Показано, что переход колебаний из гармонических в хаотическиедвухслойной конструкции неспаянных пластинок при действии продольной ипоперечной знакопеременной нагрузок может иметь различные сценарии.Более того, наблюдаемые бифуркационные процессы могут быть сложнымобразом скомбинированы.Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, спискаиспользуемой литературы. Работа содержит 115 страниц наборного текста, 4рисунка, 13 таблиц.Во второй главе рассматривается модель двухслойной конструкции,состоящей из тонких упругих пластинок постоянной толщины напрямоугольном плане. Пластинки контактируют между собой по внешним18поверхностям, проектирующимся на соответствующую срединнуюповерхность, в рамках обобщенных гипотез упругого основания Винклера иВласова. Задача с распределенными параметрами сводится с помощьюметода конечных разностей с аппроксимацией O(Ax^) + (Ayf) попространственным переменным (х, у) к задаче с сосредоточеннымипараметрами, система обыкновенных дифференциальных уравненийрешается методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности. На каждомвременном шаге осуществляется итерационная процедура для уточнениявеличины зоны контакта. Следует отметить, что итерационная процедура накаждом шаге по времени понижает порядок системы дифференциальныхуравнений в два раза, а после применения конечно - разностнойаппроксимации по пространственным переменным с погрешностью0{Ax^) + {^yf) также в два раза понижает порядок уже алгебраическойсистемы, которая решается методом Гаусса, что существенно влияют навремя счета на ПЭВМ. Список используемой литературы включает 110 наименований.
19Научная noemnaработы заключается в следующем:1. Построены математические модели нелинейной динамикимногослойных неспаянных пластинок с учетом различного роданелинейностей.
2. Создана итерационная процедура для динамики многослойныхнеспаянных пластинок для уточнения величины и характераконтактного давления.
3. Построена математическая модель теории многослойных неспаянныхпластинок на базе обобщенной модели Власова.
4. Изучен новый класс задач нелинейной динамики многослойныхнеспаянных пластинок в зависимости от типа управляющихпараметров (краевых условий, характера нафузки, величины зазора ивида динамической системы).
5. Показано, что переход колебаний из гармонических в хаотическиедвухслойной конструкции неспаянных пластинок при действиипродольной и поперечной знакопеременной нагрузок может иметьразличные сценарии. Более того, наблюдаемые бифуркационныепроцессы могут быть сложным образом скомбинированы.
6. Выявлено, что при нелинейных диссипативных колебанияхдвухслойных неспаянных пластинок с учетом конструктивнойнелинейности присутствуют некоторые выводы теоремы Шарковского.
7. К имеющейся классификации динамических систем (диссипативные иконсервативные) присоединяется новое понятие консервативнодиссипативных систем.
Достоверность нолученных результатов обеспечена корректнойматематической постановкой задачи, использованием качественной теориидифференциальных уравнений, механики пластин, численных методовсведения бесконечномерных задач к конечномерным (метод конечныхразностей аппроксимации 0{h^^^))\ сравнением с известными результатами,полученными ранее другими авторами, тщательностью отладки и20тестирования программ на ПЭВМ. В частном случае результаты, полученныеавтором диссертации, совпадают с уже известными результатами,полученными другими авторами, и не противоречат имеющимся физическимпредставлениям, основанным на экспериментах.
Практическая ценность и реализация результатов. Применяемаяметодика исследования нелинейных колебаний многослойных неспаянныхпластинок может быть использована для управления колебаниямипластинчатых систем в создании приборов новой техники, в медицине и др.отраслях народного хозяйства. Разработанные алгоритмы и профаммы могутбыть использованы в инженерных расчетах. Работа выполнена в рамкахосновного научного направления СГТУ IB «Математическое моделированиев естественных науках» по теме СГТУ - 135 Создание теории сложныхстохастических колебаний распределенных механических систем на 2006 г.
Анробация работы. Основные положения и результаты диссертациипредставлялись на XIII межвузовской конференции «Математическоемоделирование и краевые задачи». (Самара, 2003), XIII Зимней школе помеханике сплошных сред. (Пермь, 2003 г.), 7"' Conference on DynamicalSystems - Theory and Applications (Lodz, Poland, 2003 г.). Ill международнойконференции по теории нелинейной динамике механических ибиологических систем (Саратов, 2004), XXI международной конференции потеории оболочек и пластин (Саратов, 2005).
Данная диссертационная работа выполнена в СаратовскомГосударственном Техническом Университете на кафедре «Высшаяматематика».
В законченном виде диссертационная работа докладывалась нанаучном семинаре «Численные методы расчета пластин и оболочек» кафедры«Высшая математика» СГТУ под руководством Заслуженного деятеля наукии техники РФ, Д.Т.Н., профессора В.А.Крысько (Саратов, 2006 г.), а также наобъединенном научном семинаре кафедр «Механика деформируемого21твердого тела», «Высшая математика», «Мосты и транспортные сооружения»и «Промышленное и гражданское строительство» (Саратов, 2006 г.).
Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в работах[65 - 71].
На защиту выносятся следующие положения:
Список литературы:
1. Артюхин Ю. П. Некоторые контактные теории тонких пластин / Ю. П.Артюхин, Н. Карасев // Исследования по теории пластин и оболочек.1973.-ВЫП. 10.-С. 159-166.
2. Карасев Н. Влияние поперечного сдвига и обжатия на распределение контактных напряжений / Н. Карасев, Ю. П. Артюхин //Исследование по теории пластин и оболочек. 1976. - Вып. 12. - 68-77.
3. Друнев В. К. Покон изследования на устойчивоста на кръгов прьстетверху еластична основа / В. К. Друнев // Теоретическая иприкладная механика. 1980.- 11,-№3.-С. 94-101.
4. Крысько А. В. Комбинированные математические модели контактных задач теории пластин и оболочек: дисс. канд. физ.-мат. наук :01.02.04 / А. В. Крысько - Саратов: СГУ, 1995. - 266 с.
5. Пелех Б. Л. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентрическими / Б. Л. Пелех, В. А. Лазько ; Киев: Наукова думка,1982.-292 с.
6. Кантор Б. Я. Нелинейные задачи теории неоднородных оболочек /Б. Я. Кантор ; Киев: Наукова думка, 1971. - 134 с.
7. Розин Л. А. О расчете конструкций методом расчленения /Л. А. Розин // Прикладная матем. и механика, 1961. - т. XXV. - № 5. - 921 - 926.
8. Розин Л. А. Стержневые системы как системы конечных элементов /Л. А. Розин ; Л. Изд-во ЛГУ, 1976. - 232 с.
9. Пшеничнов Г. И. Метод декомпозиции решения уравнений и краевых задач / Г. И. Пшеничнов; ДАН СССР. М., 1985. - т. 282. - № 4. - 792-294.
10. Ханен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах / Г. Ханен ; М.: Мир,1985.-256 с.
11. Гленодорф П. Термодинамическая теория структурности, устойчивости SI и флуктуации / П. Гленодорф, И. Пригожин; М.: Мир, 1973. - 280 с.1^-^ 14. Николис Г. Самоорганизация в неравновесных системах / Г. Николис,А. Пригожин ; М.: Мир, 1979. - 344 с.
12. Пригожин И. От существующего к возникающему / И. Пригожин ; М.: Наука, 1985.-238 с.
13. Пригожин И. Порядок из хаоса / И. Пригожин ; М.: Прогресс, 1986. - 230 с.
14. Чириков Б. В. Резонансные процессы в магнитных ловушках / Б. В. Чириков ; Атомная энергия, 1959. - Т. 7. - № 6. - 630 - 638.
15. Лоренц Э. Детерминированные периодические течения. (Странные аттракторы); под ред. Я. Г. Синая, Л. П. Шпильникова / Э. Лоренц; М.:Мир, 1981.-С. 88-116.
16. Пуанкаре А. О науке / А. Пуанкаре; М.: Наука, 1983. - 560 с. -^, 20. Пуанкаре А. О кривых определяемых дифференциальнымиуравнениями / А. Пуанкаре ; М.: Гостехиздат, 1948. - 320 с.
17. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, Э. • V Хайкин; М.: Наука, 1981. - 598 с.
18. Рюэль Д. О природе турбулентности (странные аттракторы) / Д. Рюэль, Ф.Такенс;М.:Мир, 1981.-С. 117-151.
19. Алексеев В. М. Квазислучайные колебания и качественные вопросы небесной механики / В. М. Алексеев // Труды IX Мат. школы, Киев.Ин-т математики АН УССР, 1972. - 212 - 341.108
20. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы / Дж. Д. Биркгоф ; М.: Гостехиздат, 1941. - 165 с.
21. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский ; М.: Наука, 1974.-503 с.
22. Боуэн Р. Методы символической динамики / Р. Боуэн ; М.: Мир, 1979. - 175 с.
23. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация / П. Биллингслей ; М.: Мир, 1969.-117 с.
24. Бунимович Л. А. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца / Л. А. Бунимович, Я. Г. Сипай ; Нелинейные волны, М.: Наука, 1979. - 212-226.
25. Корнфельд И. Н. Эргодическая теория / И. Н. Корнфельд, Я. Г. Сипай, В. Фомин; М.: Наука, 1980. - 208 с.
26. Крылов Н. Работы по обоснованию статической физики / Н. Крылов ; М. Изв. АН СССР, 1950. - 232 с.
27. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд ; М.: Наука, 1978. - 272с.
28. Йосс Ж. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций / Ж. Йосс, Д. Джозеф ; М.: Мир, 1983.-300 с.
29. Арнольд В. И. Теория катастроф / В. Н. Арнольд ; М.: Изд-во МГУ, 1983.-128 с.
30. Карасев Н. О некоторых контактных задач теории тонких пластин и оболочек / Н. Карасев // Изв. АН СССР. МТТ., 1978. -}кЬ.- 170-178.
31. Вольмир А. Устойчивость деформируемых систем / А. Вольмир ; М.: Наука, 1967.-984 с.109
32. Кантор Б. Я. К нелинейной теории тонких оболочек / Б. Я. Кантор // Динамика и прочность машин. Харьков: изд-во ХГУ, 1967. - т. 5. - 136с.
33. Крысько В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. / В. А. Крысько ; Саратов: СГТУ, 1976. - 216 с.
34. Алумяэ Н. А. Одна вариационная формула для исследования тонкостенных упругих оболочек в послекритической стадии / Н. А.Алумяэ // Прикладная математика и механика. 1950. - Т. 14. - JVb 2. -312 с.
35. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем / В. В.Болотин; М.: Гостехиздат, 1956. - 600 с.
36. Пальмов В. А. Колебания упруго - пластических тел /В. А. Нальмов ; ' М.: Наука,-1976.-186 с.
37. Григолюк Э. И. Устойчивость оболочек / Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов; М.: Наука, 1978. - 360 с.
38. Гольденвейзер А. Л. Свободные колебания тонких упругих оболочек / А. Л. Гольденвейзер, В. Б. Лидский, Н. Е. Товстик; М., 1979. - 384 с.
39. Агамиров В. Л. Динамические задачи нелинейной теории оболочек / В. Л. Агамиров; М.: Наука, 1990. - 256 с.no
40. Каримбаев Т. Д. Изгиб балки при поперечном ударе по движущейся площадке / Т. Д. Каримбаев, Ш. Мамаев // ЦИАМ. Препр. 2000. - № 33. -С. 1-29.
41. Dogaki Masahiro. Dynamic buckling of rectangular plates under periodic shear force / Dogaki Masahiro, Рек Songbo, Yonezawa Hiroshi // Kansai daigakukogyo gijutsu kenkyujo kenkyu hokoku. 2000. - 15. - P. 169-178.
42. Kapitaniak T. Chaos for engineers: theory, applications, and control / T. Kapitaniak; Berlin - Heidelberg - New York: Springer. 1998. - 142 p.
43. Kapitaniak T. Strange non-chaotic transients / T. Kapitaniak // J. Sound and Vibr. 1992.-158,-№1.-P. 189-194.
44. Kapitaniak T. Chaos in a noisy mechanical system with stress relaxation / T. Kapitaniak // J. Sound and Vibr. 1988. - 123, - №3. - P. 391-396.
45. Han Qiang. The study on the chaotic motion of a nonlinear dynamic system Han Qiang, Zhang Shanyuan, Yang Guitong // Appl. Math. And Mech. Engl.Ed. 1999. - 20, - №8. - P .830-836.
46. Аврейцевич Я. Нереход к хаосу в диссипативных пластинчатых конструкциях / Я. Аврейцевич, В. А. Крысько, А. В. Крысько //Материалы II Белорусского конгресса по теоретической и прикладноймеханике. Минск, 1999. - 3 - 8.
47. Awrejcewicz J. Feigenbaum scenario exhibited by thin plate dynamics / J. Awrejcewicz, V. A. Krysko // Nonlinear Dynamics. 2001. - 24. - P .373 - 398.
48. Крысько B.A. Контактные задачи теории многослойных неспаянных пластин на прямоугольном плане : монография / В. А. Крысько, А. В.I l lКрысько, т . В. Бабенкова; деп. В ВИНИТИ от 15.04.1998; Х21125 - В98.93 с.
49. Landa P.S. Chaotic oscillations in a model of vocal source / P.S. Landa // Изв. вузов. Нрикл. нелинейн. динам. 1998. - 6, - Х24. - 57 - 67.
50. Lepik и . Axisymmetric vibrations of elastic-plastic cylindrical shells by Galerkin's method / U. Lepik // Int. J. Impact. Engng. 1996. - 18. - Х^З. - P.489-504.
51. Han Qiang. A study of chaotic motion in elastic cylindrical shells / Han Qiang, -^^ Hu Haiyan, Yang Guitong // Eur. J. Mech. A. 1999. - 18, - №2. - P. 351 - 360.
52. Maestrello Lucio. Non-linear vibration and rodiation from a panel with transition to chaos / Maestrello Lucio, Frendi Abdelkader, Brown Donald E. //AIAA Journal. 1992. - 30, - X2l 1. - P. 2632 - 2638.
53. Овсянникова 0. A. Математическая модель многослойных неспаянных задач теории пластин / А. В. Крысько, О. А. Овсянникова // Нелинейнаядинамика механических и биологических систем. Межвуз. научн. сб.Вып. 2. Саратов, 2004. - 195 - 204.
54. Овсянникова О. A. Хаотические колебания двухслойной упругой защемленной по контуру прямоугольной неспаянной пластинки / А. В.Крысько, О. А. Овсянникова // Вестник СГТУ. 2006. - № 2 (12). - Вып. 1 -С. 16-19.
55. Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности / В. И. Самуль ; уч. пособие для инж. - строит, специальностей вузов ; М.: Высш. школа,1970.-288 с.
56. Биргер И. А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности / И. А. Биргер // НММ, 1951. - Т. 15. - Вып. 6.
57. Качанов Л. М. О вариационных методах решения задач теории пластичности / Л. М. Качанов // ПММ, 1959. - Т. 23. - Вып. 3.
58. Ohashi Y. The elastoplastic bending of a clamped thin circular plate / Y. Ohashi, S. Murakanii; Proc. Eleventh Int. Cong. App. Mech., Munich, 1964.
59. Лукаш П. A. Расчет пологих оболочек и плит с учетом физической и геометрической нелинейностей / П. А. Лукаш // В кн.: Тр. ЦНИИСК. Изд-во Акад. строит, и арх. СССР, 1961.7.113
60. Муштари X. М. Поперечный изгиб квадратной пластинки при нелинейной зависимости между деформациями и напряжениями / X. М. Муштари, Р.Г. Суркии // Изв. Казанского филиала АН СССР, сер. физика, математ. имехан., 1966.-Т. 14.-С. 23-28.
61. Срубщик Л. Асимптотический метод определения критических нагрузок потери устойчивости строго выпуклых пологих оболочеквращения / Л. Срубщик // ПММ, 1972. - Т. 36. - Вып. 4. - 705 - 715.
62. Ramberg W. Discriptions of Stress-Strain Curves by Three Parameters NAGA / W. Ramberg, W. R. Osgood // TN - 902. Now NASA, 1943.
63. Александров В. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками / В. М. Александров, М. Мхиторян ; М. : Наука, 1983. -488 с.
64. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний: учеб. пособие / Я. Г. Нановко; 3-е изд. - перераб. - М.: Наука, 1991. - 256 с.
65. Крысько В. А. Определение неустойчивых решений при расчете пластин и оболочек / В. А. Крысько, А. Комаров // Труды XVII международнойконференции по теории оболочек и пластин. Казань: казанский гос. ун-т,1996.-Т. 2 .-С. 19-24.
66. Крысько В. А. Выпучивание гибких пластин под действием продольных и поперечных нагрузок / В. А. Крысько, А. Комаров, Н. В. Егурнов //Прикладная механика, 1996. - Т. 32. - Ха 9. - 80 - 87.
67. Анищенко В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы ; под ред. В. Анищенко / В. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, В. В. Астахов ; Саратов:Изд-во Сарат. ун-та, 1999. - 368 с.
68. Ляпунов А. М. Собрание сочинений / А. М. Ляпунов ; М. : Изд-во АН СССР, 1954-1956.-Т. 1,2.
69. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин ; М.: Наука, 1966.-491 с.
70. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости /Б. П. Демидович; М.: Наука, 1967. - 280 с.114
71. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноградов, Д. М. Гробман, В. В. Немыцкий ; М.:Наука, 1966.-218 с.
72. Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границы области устойчивости / Н. Н. Баутин; М.: Наука, 1984. - 191 с.
73. Смейл Дифференциальные динамические системы / Смейл // УМН, 197О.-Т.25,-№1.-С. 113-185.
74. Мандельштам Л. И. Лекции по колебаниям / Л. И. Мандельштам ; М.: Изд-во АН СССР, 1995. - 365 с.
75. Бутенин Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н. В. Бутенин, Ю. И. Неймарк, Н. А. Фуфаев; М.: Наука, 1976. - 382 с.
76. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю. И. Неймарк; М.: Наука, 1972. - 356 с.
77. Гаушус Э. В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований / Э. В. Гаушус; М.: Наука, 1976. -167 с.
78. Качественная теор"ия динамических систем второго порядка / А. А. Андронов, Е. М. Леонтович, И. И. Гордон, А. К. Майер; М.: Наука, 1967. -330 с.
79. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В. И. Арнольд; М.: Наука, 1975. - 372 с.
80. Марсден Д. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Д. Марсден, М. Мак-Кракен; М.: Мир, 1980. - 368 с.
81. Анищенко В. Сложные колебания в простых системах /В. Анищенко ; М.: Наука, 1990. - 312 с.
82. Белых В. Н. Качественные методы теории нелинейных колебаний сосредоточенных систем : учеб. Пособие / В. Н. Белых ; Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1980. - 230 с.
83. Постнов Д. Э. Бифуркации регулярных аттракторов : учеб. пособие / Д. Э. Постнов; Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1996. - 196 с.
84. Теория бифуркаций ; сер. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления / В. И. Арнольд,115В. Афраймович, Ю. Ильяшенко, Л. П Шильников; М.: ВИНИТИ,1986.-128 с.
85. Базыкин А. Д. Бифуркационные диаграммы динамических систем на плоскости / А. Д. Базыкин, Ю. А. Кузнецов, А. И. Хибник; Нущино,НЦБИ АН СССР, 1985. - 115 с.
87. Афраймович В. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации / В. Афраймович ; М.: Наука, 1987. - 189 - 213.
89. Hopf Е. А. Mathematical example desplaing the features of turbulence / E. A. Hopf// Comm. Pure Appl. Math., 1948. - V.I. - P. 303 - 322.
90. Simoyi K. H. One - dimensional dynamics in a multicomponent chemical reaction / K. H. Simoyi, A. Wolf, H. L. Swinney // Phys. Rev.1.ett, 1982.-V. 49.-P. 245.
91. О бифуркациях в трехмерной двупараметрической системе со странным аттрактором / В. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е.Летчфорд, М. А. Сафонова // Изв. Вузов ; сер. Радиофизика, 1983. - Т.26. № 2 . - С . 169-176.
92. Pomeau Y. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems / Y. Pomeau, P. Manneville // Comm. Math. Phys., 1980._V.74.-}{o2.-P. 189-197.
