Диссертация

Автор: Корнилов, Глеб Петрович

Название: Численный метод определения дисперсионных кривых и собственных волн оптических волноводов

Справка: Корнилов, Глеб Петрович. Численный метод определения дисперсионных кривых и собственных волн оптических волноводов : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.07 Казань, 2006 130 c. : 61 06-1/905

Объем: 130 стр.

Информация: Казань, 2006

Введение:

в настоящей работе нредлагается и исследуется новый нодход к расчету диснерсионных кривых и собственных волн изотропных цилиндрических оптических волноводов без потерь

01 Математические модели оптических волноводовОптический волновод, как объект изучения в теории диэлектрических волноводов, представляет собой диэлектрическую цилиндрическуюструктуру, по которой может распространяться электромагнитная энергия в видимой и инфракрасной областях спектра Реальпые вол поводы,используемые в оптической связи, представляют собой гибкие волокнаиз нрозрачных диэлектрических материалов Понеречное сечение такихволоконных световодов имеет размеры, сравнимые с размерами человеческого волоса, и обычно состоит из трех областей, как ноказано нарис1 Центральная область — сердцевина — окружена оболочкой, котоПокрытие Оболочка СердцевинаРис 1: Физическое строение диэлектрического волноводарая в свою очередь, окружена защитным нокрытием ДиэлектрическаяРис 2: Классическая модель волноводанроницаемость сердцевины (б) может быть постоянной или изменятьсяно сечению, диэлектрическая нроницаемость оболочки (боо) обычно считается постоянной Для обеспечения направляющих свойств волноводанеобходимо, чтобы максимальное значение е было больше, чем боо- Вбольшинстве приложений основная доля нередаваемой энергии распространяется в сердцевине и лишь малая ее часть — по оболочке Покрытиепрактически полностью оптически изолировано от сердцевины, ноэтомунри математическом моделировании им обычно пренебрегают, считая,что оболочка снаружи не ограничена Раснространение электромагнитных волн но оптическим волноводам может быть описано с помош,ьюуравнений Максвелла Однако, для некоторых волноводов (нанример,иснользуемых в системах дальней связи), вводится "приближение слабонаправляюш,его волновода", что позволяет заменить уравнения Максвелла скалярным волновым уравнением

Решение вида (3) представляет собой плоскую гармоническую волну,распространяющуюся без искажений с фазовой скоростью и/(3 в нанравлении оси Охз и имеющую длину 27T/UJ Условие (4) физически означает,что энергия волны остается сосредоточенной в ограниченной области ноперечного сечения волновода (разыскиваются поверхностные волны)

В данной работе мы подробно изучим как скалярную задачу {Vs)i таки векторную (9) Мы не будем использовать упрощение (10), тк операторэтой задачи не является самосопряжеппым

Задачу (9) сформулируем в виде: найти (/3, к) Е М^ и Я GН ф О, такие, что в М? справедливо уравнениеrot д (?-1 rot^ Я) - e-JVp (div^ Я) = к'^Н Анализ существования решений задачи в обш,ем случае анизотронного волновода с неременным е нроведен в работе [4], где исходная задачаэквивалентно сформулирована в виде снектральной задачи для сильносингулярного интегрального уравнения но области нонеречного сеченияволновода вида А{^, k)F = —F, где F = л/б — боо-Ё" Интегральный онератор А симметричен, нолуфредгольмов и нелинейно зависит от нараметров /3 и к При каждом к > О ставится задача: найти такие значенияностоянной распространения /3, нри которых для собственных значенийЛ = А(/3) интегрального оператора А вынолняется равенство Л(^ 5) = — 1

Доказано, что суш,ествуют но крайней мере два таких значения /3 и,соответствуюш,ие им, две линейно независимые собственные функции,называемых фундаментальными волнами Интегральное уравнение, изученное в [4], широко применяется на практике для численного решениязадачи проекционными методами (их краткий обзор см в [4]), однако10эти методы не имеют до сих пор теоретического обоснования по причинесильной сингулярности интегрального онератора

Для произвольных изотропных волноводов задача о существованиисобственных волн более нолно решена в [2] Задача формулируется в виде А{Р)Н = к^Н , где А — самосонряженный неограниченный оператор,нелинейно зависящий от /9 Такая формулировка задачи диктует другойподход, а именно для каждого /3 > О ищется k^' и Н Доказано, что сформулированные выше утверждения, касающиеся однородного волноводакругового поперечного сечения, имеют место и в общем случае В [5] результаты [2] обобщены на случай волноводов с переменной магнитнойпроницаемостью Благодаря монотонной зависимости к от {3 эти результаты легко интерпретировать в термипах зависимости /3 от fc, более привычпых для физиков и ипженеров

Результаты работ [2] и "[5] дают достаточно полное представление окачественных свойствах спектра собственных волн, однако для расчетаснектральных характеристик волноводов требуется привлечепие соответствующих численных методов (см обзор [6], а также [7], [8]) Постановкизадач, использованные в [2], [5], неудобны с точки зрения численного решения Это связано с двумя их особенностями

1) Задачи ставятся на всей плоскости М ^ При численном решениинеобходимы дополнительные меры по ограничению области интегрирования и постановке дополнительных краевых условий

2) Снектральные задачи, кроме конечного дискретного спектра, имеют также ненрерывную часть спектра Хотя положение непрерывной части известно точно, при численном решении необходимы донолнительпые меры по отсеиванию ложных приближенных решений [6], [9]

Указанных неудобств лишены постановки задачи, предложенные в [7]и [10] (см также [11] - [13]) В этих работах иснользована методика сведения задач, сформулированных на всей плоскости R^, к эквивалентнымим задачам в круге (на основе точных нелокальных краевых условий11[14] - [17]) Спектральные задачи в [7] и [10] формулируются в кругеВц D Г2г и не имеют ненрерывного снектра Их снектр совнадает с дискретной частью снектра задачи (Ту)Эти постановки хорошо нриснособлены для численных схем решенияна основе метода конечных элементов Однако, при этом приходится расплачиваться и некоторым усложнением задачи Задачи в ограниченнойобласти имеют вид A{p^k)F = k'^F с самосонряжепным оператором А,нелинейно зависяш,им от спектрального параметра к {А^ — компактный; F = Е в [7], F = Н в [10]) Решение подобных конечномерныхзадач требует снециальных итерационных методов, теория и практикакоторых недостаточно разработана Отметим также, что операторы в [10]суш,ественно прош,е и обладают лучшими свойствами, чем в [7]

03 Краткий обзор численных методовНа практике необходимо уметь рассчитывать следуюш;ие характеристики волновода Во-нервых, значения критических частот uf (точек отсечки), и интервала значений частот электромагнитных колебаний ш 6{O,uJi), нри которых суш,ествуют только фундаментальные волны Вовторых, нри каждом фиксированном ш = k/-y/JIo нужно уметь вычислятьвсе значения Р и, кроме того, диснерсионные кривые /? = P{uj) для фундаментальных волн и волн высшего тина Основной интерес нредставляет новедение этих кривых вблизи точек отсечки В-третьих, необходимо рассчитывать поле в ближпей и дальней зонах, то есть собственныефункции задачи в окрестности области Qj, а также вдали от нее

Одним из эффективных численных методов является метод конечныхэлементов (МКЭ), который активно нрименяется для численного анализа снектральных характеристик диэлектрических волноводов с 70-хгодов нрошлого столетия (см, нанример, обзорные статьи [6], [8]) Егоразвитие во многом определяется выработкой различных подходов к сведепию исходной задачи, сформулированной во всей плоскости, к новой12задаче, поставленной в некоторой ограниченной области При этом вводится искусственная граница Г, разбивающая плоскость на две части: конечную расчетную область Q, в которой диэлектрическая нроницаемостьб переменна, и неограниченную область п^о, в которой она ностоянпа Наискусствепной границе Г ставятся некоторые граничные условия, учитывающие поведение амнлитуд собственных волн на бесконечности, то естьнри \х\ —> оо

Все краевые условия на искусственной границе Г, предложенные к началу 90-х годов, были локальными и приближенными (подробный обзорсм в статье [6]) Их основной недостаток с нрактической точки зрениязаключался в том, что на частотах, близких к критическим, размер расчетной области Q нриходилось выбирать слишком большим С другойстороны, нрименение МКЭ, основанного на иснользовании этих условий,не было полностью обосновано теоретически, так как новые задачи вограниченной области не были эквивалентны исходной задаче

С начала 90-х годов получил распространепие иной нодход, основанный на иснользовании точных нелокальных условий, нозволяющих эквивалентным образом свести исходную задачу к задаче в ограниченной области Q Обзор результатов, нолученных на основе этого нодхода, содержится в работе [8] Точные условия на контуре Г имеют вид Lru = Sru,где Lr - дифференциальный оператор естественного краевого условия, аSr — некоторый нелокальный (интегральный) онератор Для ностроенияонератора Sr в явном виде иснользуются два метода: метод граничныхинтегральных уравнений и метод разделения неременных

Метод граничных интегральных уравнений оказывается эффективным в случае нлоско-параллельпой слоистой окружающей среды (боо— кусочно-постоянная функция) Функция Грина для уравнения Гельмгольца в этом случае хорошо известна, и на ее основе строится нредставление решения задачи в области Г^ оо- Такой подход комбинированияметода конечных элементов с методом интегральных уравнений был ис13пользован в статье [18] для численного решения задачи о собственныхволнах слабонаправляющего диэлектрического волновода на подложке

Для волновода в однородной окружающей среде более эффективнымявляется метод разделения перемепных Этим методом оператор Sr =Sr{^,k) в векторном случае был построен в работах [7] и [10] (контур Гвыбирался в виде окружности)^ Таким образом, в этих работах задачасформулирована в виде параметрической задачи на собственные значения в области Г2 с нелинейным вхождением спектрального нараметра кв нелокальное краевое условие на контуре Г Разница постановок заключается в том, что для аппроксимации задачи в [10] можно иснользоватьлюбые лагранжевы конечные элементы, тогда как для аппроксимациизадачи из [7] — специальные конечные элементы типа Неделека

14дисперсионные кривые в параметрическом виде р —> {^{p),uj{p)) Благодаря тому, что задача вычисления функции р —^ Р{р) оказывается экономичной, мы получаем эффективный метод вычисления дисперсионныхкривых и собственных волн

04 Обзор диссертационной работыЦелью работы является построение, теоретическое и численное исследование приближеппого метода определения дисперсионных кривыхи собственных волн цилиндрических диэлектрических волноводов как вскалярной, так и векторной постаповках

Научная новизна результатов работы состоит в следующем:— получепы оцепки точности метода Галеркина с возмущениями длясамосопряженной задачи на собственные значения Аи = ХВи в гильбертовом пространстве в случае положительно определепного оператора Аи компактпого В;— дана эквивалентная формулировка задачи о нахождении собственных волн цилиндрических диэлектрических волноводов в виде нараметрической линейной снектральной задачи в круге как в скалярной, так ивекторной постановках;— предложен приближенный метод решения полученных задач на основе метода копечпых элементов с численным интегрированием;— получепы оценки точности разработанного метода; на основе вычислительных экспериментов установлена его практическая применимостьи эффективность

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгимидоказательствами сформулировапных утверждений Достоверность численных расчетов подтверждается хорошим совпадением результатов вычислений с известными решениями тестовых задач

Научное и нрактическое значение работы Работа носит, в основном, теоретический характер Вместе с тем, разработан эффективный15метод, нозволяющий рассчитывать снектральные характеристики цилиндрических диэлектрических волноводов нроизвольного нонеречного сечения Применения рассматриваемого метода не ограничиваются задачейтеории диэлектрических волноводов По этой схеме могут быть решеныразличные задачи, нриводяш;ие к уравнению Гельмгольца на нлоскостиили системе уравнений Максвелла

Структура диссертационной работы Диссертационная работасостоит из введения, четырех глав и сниска литературы

Во введении нриводится математическая модель линейно изотронного онтического волновода, в основе которой — система уравнений Максвелла, онисываюш,ая раснространение электромагнитных волн но волноводу Для исследования суш,ествования решений и ностроения численного метода ставится снектральная задача на нлоскости М^ относительновектора нанряженности магнитного ноля Дается скалярная ностановказадачи, к которой нриводит введение "нриближения слабонанравляюп;его волновода" Обсуждается актуальность темы исследований, формулируется цель работы, нроводится обзор литературы, нрилегающей ктематике диссертации

Первая глава содержит результаты, необходимые для оценок точности схем МКЭ, конструируемых во второй и третьей главах

В этой главе рассматривается метод Галеркина с возмуш,ениями дляабстрактой обобш;енной задачи на собственные значения вида Аи = ХВив гильбертовом нространстве V с самосонряженным, ноложительно онределенным онератором А и самосонряженным, комнактным онераторомВ На языке симметричных билинейных форм этих онераторов исходная задача формулируется в виде: a(w, v) = Xb{u, v) для любых v е V

Свойства решений данной задачи хорошо известны Конечномерная задача: найти (Л'', у) eRx Vh\O такие, что'ан{у, v) = \^bh{y, v) для любыхV eVh'^V — нредставляет собой метод Галеркина с возмундениями длянриближенного решения исходной задачи Оценкам точности этого мето16да носвящено большое число работ В нункте 13 нриводится их краткийобзор

В случае ноложительно онределенного онератора В подобные оценкиточности были нолучены С И Соловьевым [20], [21], [22]

17Параметр р — А//3^ — А;^ боо онределяет скорость затухания решения набесконечности и называется ноперечным волновым числом При каждомфиксированном 5^ > О задача (11), (12) нредставляет собой линейнуюспектральную задачу на нлоскости относительно нараметра к^ В силутого, что задача поставлена в неограниченной области R^, она малопригодна для численного решения

Аналогично определяется v^ Установлены свойства операторов S{p),А{р) и В В частности, доказано, что А{р) — самосонряженный, положительно определенный оператор, В — самосонряженный, неотрицательный, компактный онератор

Здесь пространство Уд определяется как множество элементов изнаделенных скалярным произведением {A{p)u^v), ф означает прямуюсумму подпространств

П 24 посвяш,ен исследованию гладкости собственных функций

В п 34 задача V изучена при р = 0 По аналогии со скалярнымслучаем доказано, что число решений исходной задачи в обобш,енной постановке при фиксированном А; > О равно тах{г : kf < к, г = 1,2,},где kf = (3f/eJi , /3f — точки отсечки

Скачивание файла!

Для скачивания файла вам нужно ввести
E-Mail: 1662
Пароль: 1662
Скачать файл.